Oblicz pole ośmiokąta foremnego, którego najkrótsza przekątna ma długość 2 cm.... Question from @raper05p68q8d

raper05p68q8d @raper05p68q8d

June 2022 1 4 Report

Oblicz pole ośmiokąta foremnego, którego najkrótsza przekątna ma długość 2 cm.

zkuba2187

Verified answer

$P=\frac{8\sqrt{3} }{3} cm^2$

Dane:

d = 2cm - najkrótsza przekątna ośmiokąta foremnego

Szukane:

pole powierzchni ośmiokąta foremnego

Rozwiązanie:

Pierwszym krokiem będzie sporządzenie rysunku pomocniczego. Rysunek znajduje się w załączniku.

Oznaczenia:

d - najkrótsza przekątna ośmiokąta

h - wysokość ośmiokąta

Analizując rysunek, można stwierdzić, że długość najkrótszej przekątnej jest równa wysokości tego ośmiokąta.

Zatem:

$d=h$

Jeżeli ten ośmiokąt jest foremny, to oznacza, że składa się on z ośmiu trójkątów równobocznych, których wysokością jest połowa wysokości ośmiokąta.

Wysokość trójkątów oznaczymy jako:

$h_t$ .

$h_t=\frac{d}{2} \\h_t=1cm$

Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego, możemy obliczyć długość boków tego ośmiokąta.

$h_t=\frac{a\sqrt{3} }{2} \\2h_t=a\sqrt{3}\\ a=\frac{2h_t}{\sqrt{3} } \\a=\frac{2\sqrt{3}h_t}{3} \\a=\frac{2\sqrt{3} }{3}cm$

Teraz możemy obliczyć pole ośmiokąta wiedząc, że jego pole jest sumą ośmiu pól trójkątów równobocznych o krawędzi a.

$P=8*\frac{a^2\sqrt{3} }{4} \\P=8*\frac{(\frac{2\sqrt{3} }{3} )^2\sqrt{3} }{4}\\P=8*\frac{\frac{12 }{9} \sqrt{3} }{4}\\P=2*\frac{4}{3}\sqrt{3} \\P=\frac{8\sqrt{3} }{3} cm^2$