Question

Oblicz pole i obwód trapezu równoramiennego, w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym, a podstawy mają 4cm i 28cm.

Answer 1

ABCD - trapez równoramienny
AB = 28 oraz CD = 4
Odcinek AC jest prostopadły do odcinka BD
O - punkt przecięcia się przekątnych AC i BD
Kąt AOB jest prosty.Oznaczamy
AO = BO = x oraz CO = DO = y
Mamy
x² + x² = 28²
2 x² = 784
x² = 392
x = √392 = 14 √2,
analogicznie
2 y² = 4² = 16
y² = 8
y = 2 √2
Niech E oznacza środek odcinka AB oraz F środek odcinka CD
EB = AB : 2 = 28 :2 = 14 oraz FC = CD :2 = 4 : 2 = 2
Oznaczmy EO przez h1 , a FO przez h2
Δ EBO jest prostokątny, zatem
(h1)² = x² - 14² = 392 - 196 = 196
h1 = √196 = 14
Δ CFO jest prostokątny, zatem
(h2)² = y² - 2² = 8 - 4 = 4
h2 = √4 = 2
Zauważmy, że
EF = h = h1 + h2 = 14 + 2 = 16
P ={ [28 +4]/2}*16= 16*16 = 256
P = 256 cm²
(BC)² = h² + [(28 -4) :2]² = 16² + 12² = 256 + 144 = 400
BC = √400 = 20
Obwód =( 2*20 + 28 + 4 ) cm = (40 + 32) cm = 72 cm
Odp. Pole tego trapezu jest równe 256 cm², a jego
obwód 72 cm.