Question

Oblicz natężenie pola grawitacyjnego w środku trójkąta równobocznego oraz na jednym z jego boków. Trójkąt jest o boku a, w którego wierzchołkach znajdują się masy m, m, 2m .

Answer 1

Natężenie pola grawitacyjnego
E=Gm/r^2
jest wektorem, należy dodać trzy wektory
niech wysokość trójkąta będzie osią Y a podstawa z dwoma masami m, osią X E1=2Gm/r^2
E2=E3=Gm/r^2
odległość środka od mas to promień koła opisanego
2r=asin60
r=a√3/3
składowe wektorów
E1x=0
E1y=2Gm/r^2
E2x=E3x wektory przeciwne;
E2x+E3x=0
E2y=E3y=Gmsin30/r^2=Gm/2r^2
kierunek wektorów tworzy z podstawą kąt 30⁰
suma wektorów
E=E1y-E2y-E3y=2Gm/r^2-Gm/r^2=Gm/r^2
E=9Gm/3a^2=3Gm/a^2
natężenie w środku trójkąta wynosi
E=3Gm/a^2 [N/kg=m/s^2]
natężenie na środku podstawy:
E2+E3=0
E=E1=2Gm/r^2=2Gm/h^2
h=a√3/2; h^2=3a^2/4
E=2Gm*3/a^2*4=3Gm/2a^2
natężenie na środku pozostałych boków
E1=2Gm/(a/2)^2=8Gm/a^2
E2=4Gm/a^2 wektor wypadkowy działający wzdłuż boku
E1,2=E1-E2=4Gm/a^2
wektor E3 działa wzdłuż proste prostopadłej do kierunku E1,2 na promieniu h E3=Gm/h^2=4Gm/3a^2
wektor wypadkowy
E=E1,2+E3=√(E1,2^2+E3^2)=Gm/a^2√(16+16/9) √(16+16/9)=4√(1+1/9)^0,5=4√(10/9)=4√10/3= 4,2164 
E=4,2164 Gm/a^2