nomor 15 dan 16 yaaa.... Question from @e18ht1nFinity

henriyulianto

15. b. 6

16. c. 6

Pembahasan

Nomor 15

Diketahui

$\sqrt{3x+2y-8}+\left(9x^2-4y^2-32\right)^2=0$ dengan $x$ dan $y$ merupakan bilangan real.

Ditanyakan

Nilai 5x – 4y

PENYELESAIAN

$\begin{aligned}&\sqrt{3x+2y-8}+\left(9x^2-4y^2-32\right)^2=0\\&\Rightarrow \begin{cases}\sqrt{3x+2y-8}=-\left(9x^2-4y^2-32\right)^2\\-\sqrt{3x+2y-8}=\left(9x^2-4y^2-32\right)^2\end{cases}\end{aligned}$

Dengan $x$ dan $y$ terbatas pada himpunan bilangan real, kedua kasus tersebut terpenuhi jika dan hanya jika:

$\begin{cases}\sqrt{3x+2y-8}=0\quad...(i)\,\ \rm dan\\\left(9x^2-4y^2-32\right)^2=0\quad...(i)\end{cases}$

Untuk persamaan $(i)$ :

$\begin{aligned}0&=\sqrt{3x+2y-8}\\0^2=0&=3x+2y-8\\\therefore\ 3x+2y&=8\ \quad\qquad...(iii)\\\therefore\qquad\quad x&=\frac{8-2y}{3}\quad...(iv)\\\end{aligned}$

Untuk persamaan $(ii)$ :

$\begin{aligned}&&0&=\left(9x^2-4y^2-32\right)^2\\&\Rightarrow&\sqrt{0}&=9x^2-4y^2-32\\&\Rightarrow&0&=(3x+2y)(3x-2y)-32\\&&&...\textsf{ substitusi $3x+2$ dari }(iii)\\&\Rightarrow&0&=8(3x-2y)-32\\&\Rightarrow&32&=8(3x-2y)\\&\Rightarrow&4&=3x-2y\\&\Rightarrow&4&=(3x+2y)-4y\\&\Rightarrow&4&=8-4y\\&\therefore&y&=\bf1\\&\therefore&\!\!\!\!\!(iv):x&=\frac{8-2y}{3}=\frac{8-2}{3}=\bf2\end{aligned}$

Dengan $x = \bf2$ dan $y = \bf1$ , maka:

$\large\text{$\begin{aligned}5x-4y=10-4=\boxed{\ \bf6\ }\end{aligned}$}$

$\blacksquare$

KESIMPULAN

∴ Nilai 5x – 4y = 6.

..............................................

Nomor 16

Diketahui

$\large\text{$\begin{aligned}\sqrt[4]{r}-\frac{1}{\sqrt[4]{r}}=14\end{aligned}$}$

dengan $r$ merupakan bilangan bulat positif, atau $r \in \mathbb{N}$ .

Ditanyakan

$\large\text{$\begin{aligned}\sqrt[6]{r}+\frac{1}{\sqrt[6]{r}}={\dots}?\end{aligned}$}$

PENYELESAIAN

Agar tidak repot mencari nilai $r$ , kita lakukan utak-atik aljabar.

$\large\text{$\begin{aligned}14&=\sqrt[4]{r}-\frac{1}{\sqrt[4]{r}}\\&=r^{{}^1\!/_4}-r^{-{}^1\!/_4}\\&=\left(r^{{}^1\!/_{12}}\right)^3-\left(r^{\left(-{}^1\!/_{12}\right)}\right)^3\\&\ \rightsquigarrow\left[\ x^3-y^3=(x-y)(x^2+y^2+xy)\ \right]\\&\ \rightsquigarrow\left[\ {\rm ambil}\ x=r^{{}^1\!/_{12}},\ y=r^{\left(-{}^1\!/_{12}\right)}\ \right]\end{aligned}$}$

$\large\text{$\begin{aligned}14&=\left(r^{{}^1\!/_{12}}-r^{\left(-{}^1\!/_{12}\right)}\right)\left(\left(r^{{}^1\!/_{12}}\right)^2+\left(r^{-{}^1\!/_{12}}\right)^2+r^{{}^1\!/_{12}}\cdot r^{-{}^1\!/_{12}}\right)\\&=\left(r^{{}^1\!/_{12}}-r^{\left(-{}^1\!/_{12}\right)}\right)\left(r^{{}^1\!/_{6}}+r^{-{}^1\!/_{6}}+1\right)\\14&=\left(r^{{}^1\!/_{12}}-r^{\left(-{}^1\!/_{12}\right)}\right)\left(\sqrt[6]{r}+\frac{1}{\sqrt[6]{r}}+1\right)\end{aligned}$}$

Kita tahu bahwa 14 memiliki 4 faktor bilangan bulat positif, di mana 2 di antaranya adalah bilangan prima, yaitu 2 dan 7. Sehingga, persamaan terakhir dapat dinyatakan juga dengan:

$\large\text{$\begin{aligned}7\times2&=\left(\sqrt[6]{r}+\frac{1}{\sqrt[6]{r}}+1\right)\left(r^{{}^1\!/_{12}}-r^{\left(-{}^1\!/_{12}\right)}\right)\end{aligned}$}$

Dengan $r$ merupakan bilangan bulat positif, nilai $r^{{}^1\!/_{12}}$ atau $\sqrt[12]{r}$ pasti kurang dari $\sqrt[6]{r}$ . Oleh karena itu, posisi suku pada persamaan di atas sekaligus disesuaikan, sehingga hubungan kedua ruas dapat lebih terlihat.