Question

Niech "p" będzie nieparzystą liczbą pierwszą. Ile różnych reszt z dzielenia przez "p" dają kwadraty liczb całkowitych?

Answer 1

Dla liczby pierwszej równej 3 mamy:

3²=9:3->r=0
4²=16:3->r=1
5²=25:3->r=1
6²=36:3->r=0
7²=49:3->r=1
8²=64:3->r=1
9²=81:3->r=0
10²=100:3->r=1
11²=121:3->r=1
12²=144:3->r=0
13²=169:3->r=1
Reszta wynosi więc 0 lub 1, czyli mamy 2 różne reszty


Dla liczby pierwszej równej 5 mamy:

3²=9:5->r=4
4²=16:5->r=1
5²=25:5->r=0
6²=36:5->r=1
7²=49:5->r=4
8²=64:5->r=4
9²=81:5->r=1
10²=100:5->r=0
11²=121:5->r=1
12²=144:5->r=4
13²=169:5->r=4
Reszta wynosi więc 4, 1 lub 0, czyli mamy 3 różne reszty


Dla liczby pierwszej równej 7 mamy:

3²=9:7->r=2
4²=16:7->r=2
5²=25:7->r=4
6²=36:7->r=1
7²=49:7->r=0
8²=64:7->r=1
9²=81:7->r=4
10²=100:7->r=2
11²=121:7->r=2
12²=144:7->r=4
13²=169:7->r=1
Reszta wynosi więc 0, 1, 2 lub 4, czyli mamy 4 różne reszty


Dla liczby pierwszej równej 11 mamy:

4²=16:11->r=5
5²=25:11->r=4
6²=36:11->r=3
7²=49:11->r=5
8²=64:11->r=9
9²=81:11->r=4
10²=100:11->r=1
11²=121:11->r=0
12²=144:11->r=1
13²=169:11->r=4
14²=196:11->r=9
15²=225:11->r=5
Reszta wynosi więc 0, 1, 3, 4, 5 lub 9, czyli mamy 6 różnych reszt

Podsumowując:
p=3->2 reszty=p-1
p=5->3 reszty=p-2
p=7->4 reszty=p-3
p=11->6 reszt=p-5

Uogólniając kwadraty liczb całkowitych za każdym razem dają p-(p/2-0,5) reszt :)