Necesito resolver esa forma indeterminada.... Question from @anahstyles

November 2018 1 58 Report

Necesito resolver esa forma indeterminada

seeker17 Haber, tienes el siguiente límite,

$\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}{x^{\sin(x)}}$

por supuesto, el límite debe estar por la derecha, puesto que el izquierdo queda un poco impreciso....entonces, puedes hacer uso de los logaritmos, así, recordemos,

$a^{x}=e^{\ln(a^{x})}=e^{x\ln(a)}$

entonces, aplicando a nuestro ejemplo, te quedaría,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^{+}}{x^{\sin(x)}}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}{e^{\sin(x)\ln(x)}}$

el siguiente se deduce de la continuidad de la función exponencial, podemos "subir" el límite al exponente, u otra forma de verlo es, haciendo la regla de cadena, primero calculo el límite mas interno, y luego lo adapto al límite más externo, veamos, de ésta forma,

Usando la regla de cadena lo que haces, es hallar el límite del exponencial,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^{+}}{\sin(x)\ln(x)}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}{\frac{\ln(x)}{\frac{1}{\sin(x)}}}$

aplicando la regla de l´hopital (aunque no sería necesario) pero bueno, entonces te quedaría,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^{+}}{\frac{\ln(x)}{\frac{1}{\sin(x)}}}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}{\frac{\frac{1}{x}}{-\csc(x)\cot(x)}}}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}{-\frac{\sin(x)}{x\cot(x)}}$

aplicando las propiedades de los límites tienes,

$\displaystyle-{\frac{\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}\sin(x)}{\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}x\cot(x)}}$

ahora el denominador, supongamos que no es cero, entonces, podemos desarrollar, de la siguiente manera,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^{+}}{x\cot(x)}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}{\frac{x}{\frac{1}{\cot(x)}}}\longrightarrow_{\textrm{LHopital}}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}{\frac{1}{\sec^{2}(x)}}=1$

entonces, uniendo con el resultado, anterio tienes que,

$\displaystyle-{\frac{\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}\sin(x)}{\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}x\cot(x)}}=-\frac{0}{1}=0$

pero ahí no termina, según la regla de la cadena, ya hallamos el límite dela parte mas interna, entonces,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^{+}}{e^{\sin(x)\ln(x)}}=e^{\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}{\sin(x)\ln(x)}}=e^{0}=1$

por lo tanto,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^{+}}{x^\sin(x)}=1$

y eso sería todo.

Ahora el segundo límite, ya lo hemos visto en el desarrollo de éste ejercicio...así que intentalo hacer ¿va?...como ves, jugar con los número a nuestro antojo, nos puede ayudar...

intentalo terminar ahora, y si aún tienes problemas me avisas y lo termino ¿va? .

Pista: la combinación $\dfrac{\sin(x)}{\dfrac{1}{\ln(x)}}$ si te atreves a derivar arriba y abajo, vas a mantener la indeterminación, el logaritmo natural no va a desaparecer...al contrario te va a aparecer un ogartimo cuadrado (derivada del cociente)...y eso no nos combiene, pero si jugamos con los números,

$\dfrac{\sin(x)}{\dfrac{1}{\ln(x)}}=\sin(x)\ln(x)=\dfrac{\ln(x)}{\dfrac{1}{\sin(x)}}$

y éste límite ya es mucho más amigable de derivar....aprender a jugar con los números, éste control del álgebra te va a ayudar bastante en futuros ejercicios...

Saludos y suerte ¡¡

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anahstyles graciaaas

anahstyles pero con la combinancion sin x/1/lnx se puede lllegar a ese mismo resultado? eso fue lo q nos mando a preguntar el profesor pero la indeterminacion me da 0.∞ entonces no se si hay queda o eso se debe transformar

seeker17 Si se debería poder llegar a la misma solución...sería de analizarlo un poco más con cuidado...deja lo pienso un rato, porque a primera vista conviene tener el logaritmo arriba...de esa manera se desarma la indeterminación...pero con L´Hopital casi siempre se va a poder obtener un límite, lo que sería es cosa de jugar con los números adecuadamente...inténtalo hacer ya?...

seeker17 Incluso....me parece que si se puede hacerlo por ahí, pero vas a tener que usar L´Hopital algunas veces.

seeker17 Me gustan mucho tus ejercicios, tu tareas...si me permites, me gustaría seguir ayudándote...me escribes a facebook...o ah whatsapp..ahí te puedo responder cada que lo necesites...Saludos

anahstyles mandame tu wsspp necesito ayuda con otros de l'hopital puedes?

seeker17 +593978810674 ahí me escribes