14. Halle el área del triángulo determinado por los puntos: a = (-2, 0, -1), b = (-2, -1, 3) y c = (-1, 1, 1) en IR3.
16. Calcule el volumen del paralelepípedo que determinan en IR3 los puntos: a = (3, 0, 2), b = (3, 2, 5), c = (5, 4, 2) y d = (4, 0, 1).
samueldavidsala
Para hallar el área del triángulo determinado por los puntos: a = (-2, 0, -1), b = (-2, -1, 3) y c = (-1, 1, 1) en R³ , primero necesitas verificar que estos tres puntos no son coolineales.
⇒ ab =(-2,-1,3)-(-2,0,-1)=(0,-1,4) ⇒ ac =(-1,1,1)-(-2,0,-1)=(1,1,2)
Como puedes ver no existe un escalar β / β ∈ lR ,que al multiplicar β por ⇒ ⇒ ab , obtenga como resultado ac.
Por lo cual los puntos a,b y c , no son coolineales.
El área del triángulodeterminado por los puntos a,b y c, es igual a ⇒ ⇒ A=1/2 ll ab×ac ll
Procedemos a realizar el producto cruz
i j k 0 -1 4 1 1 2 =-6i + 4j + k , para verificar si es correcto procedemos a realizar ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ (ab×ac)· ab o ac y tiene que ser igual a 0 , por que son ortogonales. (-6,4,1)·(0,-1,4)=0.Luego de verificar el producto cruz procedemos a remplazar los datos obtenidos en la formula.
A=1/2 ll ab×ac ll
A=1/2√-6²+4²+1²
A=1/2√53 u².
Para encontrar el volumen del paralelepípedo aplicas las siguiente formula, ⇒ ⇒ ⇒ V=ad · (ab×ac) (· = producto punto y × = producto cruz , que no es lo mismo). Espero te sirva, saludos.
franco29598
Una pregunta. ¿Puedo cambiar el orden del producto mixto? ¿Envés de hacer ad · (ab×ac) puedo hacer ac · (ad×ab) o cualquier otra combinación?
samueldavidsala
Claro puedes realizar el producto cruz, con los vectores a conveniencia , es claro que si tienes uno de los dos vectores del producto cruz con un 0, terminaras un poco mas rápido, lo cual ayuda en los exámenes.
⇒
ab =(-2,-1,3)-(-2,0,-1)=(0,-1,4)
⇒
ac =(-1,1,1)-(-2,0,-1)=(1,1,2)
Como puedes ver no existe un escalar β / β ∈ lR ,que al multiplicar β por
⇒ ⇒
ab , obtenga como resultado ac.
Por lo cual los puntos a,b y c , no son coolineales.
El área del triángulo determinado por los puntos a,b y c, es igual a
⇒ ⇒
A=1/2 ll ab×ac ll
Procedemos a realizar el producto cruz
i j k
0 -1 4
1 1 2 =-6i + 4j + k , para verificar si es correcto procedemos a realizar ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
(ab×ac)· ab o ac y tiene que ser igual a 0 , por que son ortogonales. (-6,4,1)·(0,-1,4)=0.Luego de verificar el producto cruz procedemos a remplazar los datos obtenidos en la formula.
A=1/2 ll ab×ac ll
A=1/2√-6²+4²+1²
A=1/2√53 u².
Para encontrar el volumen del paralelepípedo aplicas las siguiente formula,
⇒ ⇒ ⇒
V=ad · (ab×ac) (· = producto punto y × = producto cruz , que no es lo mismo).
Espero te sirva, saludos.