Necesito ayuda, alguien me puede explicar como se hace y como da que la solucion es 67.5.... Question from @BrightBlade

¡Buenas!

$\textrm{Al ser una funci\'on de segundo grado el gr\'afico que corresponde} \\ \textrm{es el de una par\'abola.} \\ \\ \textrm{Vamos a escribirlo en su forma can\'onica.} \\ \\ f(x) = a(x-h)^{2} +k \\ \\ \textrm{Vamos a reemplazar}$

$f(0)= 90\ \to\ a(0-h)^{2}+k=90\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ...\ \boldsymbol{(1)} \\ \\ f(10) = 70\ \to\ a(10-h)^{2}+k=70\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ...\ \boldsymbol{(2)} \\ \\ f(40) = 130\ \to\ a(40-h)^{2}+k=130\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ...\ \boldsymbol{(3)}$

$\textrm{De}\ \boldsymbol{(1)}\ : \\ \\ a(h^{2}) + k = 90 \\ \\ \textrm{De}\ \boldsymbol{(2)}\ : \\ \\ a(h^{2}+100-20h) + k = 70 \\ \\ a(h^{2}) + 100a -20ah +k=70 \\ \\ \textrm{De}\ \boldsymbol{(3)}\ : \\ \\ a(h^{2} +1600-80h) + k = 130 \\ \\ a(h^{2}) + 1600a -80ah +k=130$

$\boldsymbol{(1)} - \boldsymbol{(2)}\ : \\ \\ 20ah-100a = 20 \\ \\ ah - 5a = 1 \\ \\ \boldsymbol{(3)} - \boldsymbol{(1)}\ : \\ \\ 1600a-80ah=40 \\ \\ 40a - 2ah = 1 \\ \\ \boldsymbol{(3)} - \boldsymbol{(2)}\ : \\ \\ 1500a-60ah=60 \\ \\ 25a-ah = 1 \\ \\ \textrm{Notamos:} \\ \\ ah - 5a = 25a-ah \\ \\ 2ah = 30a \\ \\ ah = 15a \\ \\ a= \dfrac{1}{10},\ h = 15,\ k = 67,5$

$f(x) = \dfrac{1}{10} (x-15)^{2} + 67,5 \\ \\ \textrm{Viendo la gr\'afica de la funci\'on el gasto m\'inimo ser\'a en el punto} \\ \textrm{m\'as bajo de la gr\'afica.} \\ \\ \textrm{Sabemos que todo n\'umero elevado al cuadrado siempre debe ser } \\ \textrm{mayor o igual a cero, aprovecharemos esto para saber el valor} \\ \textrm{m\'inimo.}$

$(x-15)^{2} \geq 0 \\ \\ \\ (x-15)^{2}\ \cdot\ \frac{1}{10}\ \geq 0\ \cdot\ \frac{1}{10} \\ \\ \\ \dfrac{1}{10} (x-15)^{2} \geq 0 \\ \\ \\ \dfrac{1}{10} (x-15)^{2} +67,5 \geq 0 +67,5 \\ \\ \\ f(x) \geq 67,5 \\ \\ f(x)_{min} = 67,5$

RESPUESTA

$\boxed{ \textrm{El gasto m\'inimo ser\'a 67,5} }$

Comentario

El problema se puede resolver de distintas formas, aplicando derivadas, o usando la forma polinómica de una función cuadrática.

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