Napisz równania stycznych do okręgu i przechodzących przez punkt ,jeśli:f) A(5,-1)odp: a robię to sp.... Question from @janekjanczewski55

janekjanczewski55 @janekjanczewski55

October 2018 1 26 Report

Napisz równania stycznych do okręgu $o$ i przechodzących przez punkt $A$ ,jeśli:
f) $o:x^2+y^2-6x+8y+21=0$ A(5,-1)

odp: $x=5 \vee y= \frac{5}{12}x-3 \frac{1}{12}$

a robię to sposobem

d= $\frac{|A*x+b*y+c|}{ \sqrt{A^2+B^2} }$

i nie wychodzi mi x=5

Roma

Rówania stycznych do okręgu $x^2+y^2-6x+8y+21=0$ przechodzących przez punkt $A = (5; \ - 1)$

$x^2+y^2-6x+8y+21=0$

Równanie okręgu jest w postaci ogólnej : x² + y² - 2ax - 2by + c = 0, gdzie a, b to współrzędne środka S = (a; b) i $r = \sqrt{a^2 + b^2 - c}$ to promień okręgu, zatem środek okręgu ma współrzędne:

$-2a = - 6 /:(-2) \\\ a = 3 \\\\ -2b = 8 \ :(-2) \\\ b = - 4 \\\\ S = (3; \ - 4)$

a jego promień r ma długość:

$r = \sqrt{3^2 + (-4)^2 - 21} = \sqrt{9 + 16- 21} = \sqrt{4} = 2$

czyli jest to okrąg o środku S = (3; - 4) i promieniu r = 2

ΔABS jest prostokątny (patrz załącznik), bo promień r = |BS| jest prostopadły do stycznej AB, zatem:

$|AB|^2 + |BS|^2 = |AS|^2$

$|BS| = r = 2\\\\ |AS| = \sqrt{(3-5)^2 + (-4 +1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+9} =\sqrt{13}$

Stąd:

$|AB|^2 + 2^2 = (\sqrt{13})^2 \\\ |AB|^2 + 4 = 13 \\\ |AB|^2 = 13-4 \\\ |AB|^2 = 9 \\\ |AB| = 3$

Aby wyznaczyć punkty styczności stycznych do okręgu x² + y² - 6x + 8y + 21 = 0, musimy znaleźć punkty wspólne tego okręgu i okręgu o środku w punkcie A = (5; - 1) i promieniu r = 3, czyli okręgu o równaniu: (x - 5)² + (y + 1)² = 9:

$\left \{ {{x^2+y^2-6x+8y+21=0} \atop {(x-5)^2 + (y + 1)^2 = 9}} \right. \\\ \left \{ {{x^2+y^2-6x+8y+21=0} \atop {x^2 - 10x + 25 + y^2 + 2y + 1- 9 =0}} \right. \\\ \left \{ {{x^2+y^2-6x+8y+21=0} \atop {x^2 + y^2- 10x + 2y + 17 =0}} \right. \\\ \left \{ {{x^2+y^2=6x-8y-21} \atop {x^2 + y^2= 10x - 2y - 17}} \right. \\\\ 6x-8y-21=10x - 2y - 17\\\ 6x - 10x = -2y - 17 + 8y +21 \\\ - 4x = 6y + 4 \ /:(-4) \\\ x = -1,5y - 1$

$x^2+y^2-6x+8y+21=0 \\\ (-1,5y - 1)^2+y^2-6 \cdot (-1,5y - 1)+8y+21=0 \\\ 2,25y^2+ 3y + 1 + y^2 + 9y + 6 + 8y + 21 = 0 \\\ 3,25y^2 + 20y + 28 = 0 \\\ \Delta = 20^2 - 4 \cdot 3,25 \cdot 28 = 400 - 364 = 36; \ \sqrt{\Delta} = \sqrt{36} = 6$

$y_1 = \frac{-20 - 6}{2 \cdot 3,25} = \frac{-26}{6,5} = -26 : 6,5 = \frac{-26}{1} : \frac{65}{10} = \frac{-26}{1} \cdot \frac{10}{65} = -\frac{52}{13} = -4 \\\\ y_2 = \frac{-20+ 6}{2 \cdot 3,25} = \frac{-14}{6,5} = -14 : 6,5 = \frac{-14}{1} : \frac{65}{10} = \frac{-14}{1} \cdot \frac{10}{65} = -\frac{28}{13}$

$\left \{ {{y_1=-4} \atop {x_1 = -1,5 \cdot (-4)- 1}} \right. \ lub \ \left \{ {{y_2=-\frac{28}{13}} \atop {x_2 = -1,5 \cdot (-\frac{28}{13})- 1}} \right. \\\\ \left \{ {{y_1=-4} \atop {x_1 = 6- 1}} \right. \ lub \ \left \{ {{y_2=-\frac{28}{13}} \atop {x_2 = -\frac{3}{2} \cdot (-\frac{28}{13})- 1}} \right. \\\\ \left \{ {{y_1=-4} \atop {x_1 = 5}} \right. \ lub \ \left \{ {{y_2=-\frac{28}{13}} \atop {x_2 = \frac{42}{13}- \frac{13}{13}}} \right$

$\left \{ {{x_1 = 5} \atop {y_1=-4}} \right. \ lub \ \left \{ {{x_2 = \frac{29}{13}} \atop {y_2=-\frac{28}{13}}} \right.$

Zatem punkty styczności stycznych to $B= (\frac{29}{13}; \ -\frac{28}{13}); \ C = (5; \ - 4)$

Aby napisać równania stycznych skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂):

$(y - y_1)(x_2 - x_1) = (y_2 - y_1)(x - x_1)$

Styczna AB przechodzi przez punkty: $A = (5; \ - 1); \ B= (\frac{29}{13}; \ -\frac{28}{13})$ i ma równanie:

$(y +1)(\frac{29}{13} - 5) = (-\frac{28}{13} +1)(x - 5) \\\\ (y +1)(\frac{29}{13} - \frac{65}{13}) = (-\frac{28}{13} +\frac{13}{13})(x - 5) \\\\ (y +1) \cdot (- \frac{36}{13}) = -\frac{15}{13} \cdot (x - 5) \\\\ - \frac{36}{13}y - \frac{36}{13} = - \frac{15}{13}x + \frac{75}{13} \\\\ - \frac{36}{13}y = - \frac{15}{13}x + \frac{75}{13} + \frac{36}{13} \\\\ - \frac{36}{13}y = - \frac{15}{13}x + \frac{111}{13} \ /:(- \frac{36}{13})$

$y =- \frac{15}{13} \cdot (- \frac{13}{36}) \cdot x + \frac{111}{13} \cdot (- \frac{13}{36}) \\\\ y = \frac{5}{12}x - \frac{37}{12} \\\\ y = \frac{5}{12}x - 3\frac{1}{12}$