Na trapezie ABCD opisano okrąg o środku w punkcie O i promieniu R cm. Kąt między dluższą podstawą AB.... Question from @778887878787878

November 2018 1 3 Report

Na trapezie ABCD opisano okrąg o środku w punkcie O i promieniu R cm. Kąt między dluższą podstawą AB a promieniem okręgu poprowadzonego do punktu A jest równy 30 stopni. oblicz długość podstaw trapezu , jeżli jego wysokość jest równa h.
a) R=4 , h=5
b)R=10, h=3

Roma Na trapezie ABCD opisano okrąg, czyli jest to trapez równoramienny.

Oznaczenia jak na rysunku - patrz załącznik
Dłuższa podstawa trapezu: |AB| = a
Krótsza podstawa trapezu: |CD| = b
Wysokość trapezu: |EF| = h
Promień okręgu opisanego na trapezie: R
Kąt między dluższą podstawą AB a promieniem okręgu poprowadzonego do punktu A: $\alpha = 30^o$

a)
R = 4, h = 5
R < h, zatem środek okręgu leży w środku trapezu
$h_1, \ h_2$ to odpowiednio odległość środka O okręgu od podstaw AB i CD
Zatem:
$h = h_1+ h_2 = 5$

$\underline{\Delta AEO} \\\\
|\sphericalangle EAO| = 30^o \\\
|AO| = R = 4 \\\
|OE| = h_1 \\\
|AE| = \frac{a}{2}$

Trójkąt AEO to trójkąt prostokątny o kątach: $30^o, \ 60^o, \ 90^o$ i bok AO to przeciwprostokątna, zatem:
$|OE| = \frac{1}{2}|AO| \\\
|OE| = \frac{1}{2} \cdot 4 \\\
|OE| = 2 \\\\
|AE| = |OE| \cdot \sqrt{3} \\\
\frac{a}{2} = 2\sqrt{3} \ / \cdot 2 \\\
a = 4\sqrt{3}$

$\underline{\Delta DFO} \\\\ 
|DO| = R = 4 \\\ |DF| = \frac{b}{2} \\\ |OF| = h_2 \\\\
h = h_1+ h_2 \\\
h_2 = h - h_1 \\\
h_2 = 5 - 2 \\\
h_2 = 3$

Trójkąt DFO to trójkąt prostokątny, zatem na podstawie tw. Pitagorasa:
$|DF|^2 + |OF|^2 =|DO|^2 \\\
|DF|^2 = |DO|^2 - |OF|^2 \\\
(\frac{b}{2})^2 = R^2 - h_2^2 \\\
\frac{b^2}{4} = 4^2 - 3^2 \\\
\frac{b^2}{4} = 16 - 9 \\\
\frac{b^2}{4} = 7 \ / \cdot 4 \\\
b^2 = 4 \cdot 7 \\\
b = \sqrt{4 \cdot 7} \\\
b = 2\sqrt{7}$

Odp. Podstawy trapezu ABCD mają długość: $4\sqrt{3} \ i \ 2\sqrt{7}$

b)
R = 10, h = 3
R > h, zatem środek okręgu leży poza trapezem
$h_1, \ h_2$ to odpowiednio odległość środka O okręgu od podstaw AB i CD
Zatem:
$h = h_2 - h_1 = 3$

$\underline{\Delta AEO} \\\\
|\sphericalangle EAO| = 30^o \\\
|AO| = R = 10 \\\
|OE| = h_1 \\\
|AE| = \frac{a}{2}$

Trójkąt AEO to trójkąt prostokątny o kątach: $30^o, \ 60^o, \ 90^o$ i bok AO to przeciwprostokątna, zatem:
$|OE| = \frac{1}{2}|AO| \\\ |OE| = \frac{1}{2} \cdot 10 \\\ |OE| = 5 \\\ |OE| = h_1 = 5 \\\\
|AE| = |OE| \cdot \sqrt{3} \\\
\frac{a}{2} = 5\sqrt{3} \ / \cdot 2 \\\
a = 10\sqrt{3}$

$\underline{\Delta DFO} \\\\ 
|DO| = R = 10 \\\ |DF| = \frac{b}{2} \\\ |OF| = h_2 \\\\
h = h_2-h_1 \\\
h_2 = h + h_1 \\\
h_2 = 3 +5 \\\
h_2 = 8 \\\ |OF| = h_2 = 8$

Trójkąt DFO to trójkąt prostokątny, zatem na podstawie tw. Pitagorasa:
$|DF|^2 + |OF|^2 =|DO|^2 \\\
|DF|^2 = |DO|^2 - |OF|^2 \\\ |DF|^2 = R^2 - h_2^2 \\\ |DF|^2 = 10^2 - 8^2 \\\ |DF|^2 = 100 - 64 \\\ |DF|^2 = 36 \\\ |DF| = 6 \\\\ |DF| = \frac{b}{2} \\\ \frac{b}{2} = 6 \ / \cdot 2 \\\ b = 12$

Odp. Podstawy trapezu ABCD mają długość: $10\sqrt{3} \ i \ 12$

15 votes Thanks 30