Question

Na okręgu (x+2)²+(y-3)²=8 znajdź taki punkt A, którego odległość od punktu P=(2,7) jest najmniejsza

Answer 1

Weźmy sobie środek tego okręgu: S(-2,3)... Otóż najkrótsza droga od środka okręgu S do punktu P będzie po prostej łączącej te dwa punkty. Prosta ta wyznaczy przy okazji punkt na okręgu który jest najbliżej punktu P... można to przedstawić tak:

http://i49.tinypic.com/w2oora.png

Wyznaczmy prostą SP podstawiając pod (x,y) współrzędne punktów:
y=ax+b

S(-2,3), P(2,7):

3=-2a+b
7=2a+b

dodajemy stronami i mamy:
10=2b |:2
b=5

wstawiamy:
7=2a+b
7=2a+5
2a=2 |:2
a=1

tak o to nasza prosta y=ax+b ma równanie:
y=x+5

prosta przecina okrąg w dwóch miejscach i je musimy wyznaczyć, a z rysunku odczytamy, które miejsce jest tym poprawnym... liczymy punkty przecięcia:

(x+2)²+(y-3)²=8
y=x+5

podstawiamy pod y w pierwszym równaniu "x+5":
(x+2)²+(x+5-3)²=8
(x+2)²+(x+2)²=8
2(x+2)²=8 |:2
(x+2)²=4

x²+4x+4=4
x²+4x=0

wyłączamy "x" przed nawias:
x(x+4)=0

widzimy, że równanie jest prawdziwe dla x=0 oraz dla x=-4 (co się zgadza idealnie z rysunkiem). To też na rysunku widzimy, że obchodzi nas x=0... trzeba aby y wyliczyć, ale to proste, skoro:

y=x+5
y=5

tak więc nasz punkt A ma współrzędne (0,5)