Question

Na okręgu (x + 2)² + (y - 3)² = 8 znajdź taki punkt A, którego odległość od punktu P = (2, 7) jest najmniejsza.

Answer 1

Najmniejsza odległość pkt. od okręgu to odcinek, którego przedłużenie przechodzi do środka okręgu.
Szukamy prostej przechodzącej przez pkt. P i środek okręgu
(-2 ; 3).
z równania ogólnego prostej:
3 = -2a + b
7 = 2a + b
dodając stronami równania otrzymamy 10 = 2b stąd
b = 5 oraz a = 1
równanie tej prostej ma postać y = x + 5

teraz szukamy pkt. wspólnego tej prostej i okręgu
przekształcając równanie okręgu otrzymamy:
x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 8
podstawiamy y = x + 5
x^2 + 4x + 4 + (x + 5)^2 - 6(x + 5) + 9 = 8
x^2 + 4x + 4 + x^2 + 10x + 25 - 6x +10 + 9 = 8
2x^2 + 8x = 0
x^2 + 4x = 0
x(x + 4) = 0
więc
x = 0 lub x = -4
bliżej punktu P, na okręgu jest punkt A który ma
współrzędna [0 ; y]
podstawiając do równania prostej y = x + 5 otrzymamy y = 5

Odp. Punkt A ma współrzędne [0 ; 5]