Question

Na okręgu o promieniu 2 opisano trójkąt prostokątny o jednej z przyprostokątnych długości 12. Oblicz obwód tego trójkąta.

Answer 1

Na okręgu o promieniu r= 2 opisano trójkąt prostokątny,
czyli okrąg jest wpisany w ten trójkąt {jego środek leży na przecięciu dwusiecznych kątów, a promienie są prostopadłe
do boków trójkąta w punktach styczności, przez to tworzą się
dwie pary trójkątów przystających i kwadrat o boku 2}
Wiemy, że jedna z przyprostokątnych trójkąta
ma długość a = 12
druga przyprostokątna (promień + odcinek x)
ma długość b = 2+x
przeciwprostokątna (12-2=10 + odcinek x)
ma długość c = 10 + x
Z tw. Pitagorasa a² + b² = c²
12² + (2+ x)² = (10+ x)²
144 + 4 + 4x + x² = 100 + 20x + x² (od obu stron odejmujemy x²)
148 + 4x = 100 + 20x
100 + 20x = 148 + 4x
20x - 4x = 148 - 100
16x = 48
x = 3
druga przyprostokątna ma długość b = 2 + x = 2 + 3 = 5
przeciwprostokątna ma długość c = 10 + x = 10 + 3 = 13
Obliczamy obwód trójkąta L = 12 + 5 + 13 = 30
Odp. Obwód tego trójkąta jest równy 30.