Question

Na ile sposobów można umieścić 15 ponumerowanych kul w 8 ponumerowanych urnach tak, aby w urnie numer 1:
(a) była kula o numerze 7
(b) były co najmniej 2 kule
(c) były dokładnie 3 kule?

Answer 1

Odpowiedź:

a)

Umieszczamy kulę nr 7 w urnie nr 1 (jest tylko 1 sposób)zostaje nam 14 kul rozmieścić w 8 urnach , robimy to na

[tex]|A|=8^{14}[/tex]

b)

Od wszystkich możliwych rozmieszczeń

[tex]|W|=8^{15}[/tex]

odejmiemy P - w urnie nr 1 jest 0 kul

[tex]|P|=7^{15}[/tex]

odejmiemy L -  w urnie nr 1 jest 1 kula

wybieramy jedną kulę z 15 na 15 sposobów , umieszczamy w urnie 1 , resztę kul ,14 umieszczamy w 7 urnach

[tex]|L|=15\cdot 7^{14}[/tex]

[tex]|B|=|W|-|P|-|L|\\|B|=\underline{8^{15}-7^{15}-15\cdot7^{14}}[/tex]

c)

Wybieramy 3 kule z 15 , umieszczamy w urnie 1 i pozostałe 12 umieszczamy w 7 urnach

[tex]\displaystyle |C|={15 \choose3}\cdot 7^{12}[/tex]