Na bokach kwadratu ABCD o polu 16 cm2 zaznaczamy punkty K,L,M,N tak że: IAKI =IDLI=ICMI=IBNI (jak na rysynku) . Jak należy wybrac punkty K,L,M,N aby pole czworokąta KLMN bylo najmniejsze?
eziu
Mam nadzieje, że rysunek jest dobry, skoro kwadrat ABCD ma pole 16 to znaczy, że bok ma 4cm Niech Wtedy Zauważmy, że czworokąt KLMN jest kwadratem, istotnie po kątach, i , czyli oraz bok tego kwadratu można obliczyć z twierdzenia Pitagorasa dla któregoś z trójkątów przykładowo AKL
Oraz i szukamy minimum funkcji kwadratowej na przedziale (0,4), ze wzorów minimum jest w punkcie Czyli punkty KLMN to środki boków kwadratu ABCD
Niech
Wtedy
Zauważmy, że czworokąt KLMN jest kwadratem, istotnie po kątach, i , czyli
oraz bok tego kwadratu można obliczyć z twierdzenia Pitagorasa dla któregoś z trójkątów przykładowo AKL
Oraz
i szukamy minimum funkcji kwadratowej na przedziale (0,4), ze wzorów minimum jest w punkcie
Czyli punkty KLMN to środki boków kwadratu ABCD