Wyznacz sume nieskonczonego ciagu {an}, gdy an=1/(n^2+n).... Question from @spokojnaanka

$\\a_n=\frac{1}{n^2+n}=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac{n+1}{n(n+1)}-\frac{n}{n(n+1)} \\a_n=\frac1n-\frac{1}{n+1} \\S_n=1-\frac12+\frac12-\frac13+...+\frac1n-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1} \\S_n=\frac{n+1-1}{n+1}=\frac{n}{n+1} \\suma \ czesciowa \ (n \ poczatkowych \ wyrazow) \\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=lim_{n\to+\infty}\frac{n/n}{n/n+1/n}=1$

2 votes Thanks 1

cyfra

Najpierw spardzamy, czy jest to ciąg geometryczny (bo dla niego jest prosto - istanieje gotowy wzór), w tym celu liczymy iloraz dwóch lokejnych wyrazów:

$a_n = \frac{1}{n^2 + n}\\ a_{n + 1} = \frac{1}{(n + 1)^2 + (n + 1)}\\ q = \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{\frac{1}{(n + 1)^2 + (n + 1)}}{\frac{1}{n^2 + n}} = \frac{n^2 + n}{(n + 1)^2 + (n + 1)} = \frac{n(n + 1)}{(n + 1)[(n + 1) + 1]} = \\ = \frac{n}{(n + 1) + 1} = \frac{n}{n + 2} = \frac{n + 2 - 2}{n + 2} = \frac{n + 2}{n + 2} - \frac{2}{n + 2} = 1 - \frac{2}{n + 2}$

Niestety nie jest więc nie można zastoswać wzoru na sumę szeregu geometrcznego, ponieważ iloraz jest zależny od n. Spróbujemy to policzyć inaczej:

$\sum^{\infty}_{n = 1}a_n = \sum^{\infty}_{n = 1}\frac{1}{n^2 + n} = \sum^{\infty}_{n = 1}\frac{1}{n(n + 1)} = \sum^{\infty}_{n = 1}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}\right) =$

Trick z rozpisaniem ułamka w którym dzielimy przez edwie kolejne liczby naturalne warto zapamiętać - często się przydaje.

Teraz rozpiszemy pierwsze wyrazy ciągu, aby zauważyć pewną zależność:

$= \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{1 + 1}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2 + 1}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{3 + 1}\right) + ... = \\ = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + ... = \\ = \frac{1}{1} +\left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \left( - \frac{1}{4} +... \right= \\ = 1 + 0 + 0 + ... = 1$

1 votes Thanks 0

Zad.2.198 a) wzorcowo proszę

Zad. 2,198 f) wzorcowo proszę

Zad.2,197 d) wzorcowo proszę

Sprawdz, czy istnieje rozwiązanie równania należące do podanego przedziału 1. |3x+6|-|x-1|=5 x∈<-2 ,1> 2. 4|x+1|+|5x+10|=4 x∈(-∞ ,-2> wzorcowo, bez skrótów proszę

Doprowadz wyrażenia do najprostszej postaci 1. (4x-2)²/(4*|1-2x|) 2. (3x+6)²/[3√(x+2)²]

Rozwiąż nierówność, korzystając z własności wartości bezwzględnej 1. √(4-x²)>6 2. √(2x+3)²≥3 3. (5x-3)²-4≥0 4. 25-(2x+1)²>0 5. 9(x-2)²≤16

Zad 2.191 a), b) 2.192 c) , f )

Rozwiąż 3-|2-5x|>0 --------------------------------

Zad. 2.187 a) d) f) 2.188 a) b) d) 2.189 a) e) g) wzorcowo proszę

Zad. 2.186 a) b) f) wzorcowo proszę

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social