Mógłby mi ktoś pomóc z dwoma zadankami i przy okazji jakoś je wyjaśnić? :)1) Dwie kule o masach M i .... Question from @zosienkaa

October 2018 1 7 Report

Mógłby mi ktoś pomóc z dwoma zadankami i przy okazji jakoś je wyjaśnić? :)

1) Dwie kule o masach M i 2M są oddalone od siebie o r. Na linii łączącej ich środki, znajdź punkt geometryczny, w którym na punkt materialny o masie m działają siły grawitacji równoważące się. r-jest dane

2) Na jakiej wys. nad powierzchnią Ziemi natężenie pola grawitacyjnego jest 10 razy mniejsze niż na powierzchni?

seb12

1. Rysunek w załączniku.

Zacznijmy od tego jaki ma to być punkt. Jest to punkt, w którym natężenie pola grawitacyjnego jest równe 0. Przyspieszenie grawitacyjne w tym punkcie będzie równe zero. Ciała w tym punkcie nie będą posiadały ciężaru. Wiemy, że natężenie jest wielkością wektorową, którą liczymy ze wzoru:

$\gamma=G\frac{m}{r^2}$

Punkt ten znajdować się będzie między tymi ciałami. Stosując zasadę superpozycji mamy:

$\gamma_x=G\frac{2M}{x^2}-G\frac{M}{(r-x)^2}\\ sa\ to\ wektory\ przeciwne\\ \gamma_x=0\\ 0=G\frac{2M}{x^2}-G\frac{M}{(r-x)^2}\\ G\frac{M}{(r-x)^2}=G\frac{2M}{x^2}\\ \frac{1}{(r-x)^2}=\frac{2}{x^2}\\$

$(r-x)^2=\frac{x^2}{2}\\ r-x=\frac{x}{\sqrt{2}}\\ \sqrt{2}(r-x)=x\\ \sqrt{2}r-\sqrt{2}x=x\\ x+\sqrt{2}x=\sqrt{2}r\\ x(1+\sqrt{2})=\sqrt{2}r\\$

$x=\frac{\sqrt{2}r}{1+\sqrt{2}}*\frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}r-2r}{1-2}=\frac{r(\sqrt{2}-2)}{-1}=-r(\sqrt{2}-2)=r(2-\sqrt{2})$

Odp. Na ciało będą działać siły równoważące w odległości r(2-√2) od każdej z kul.

Szukamy takiej wysokości nad powierzchnią ziemi, gdzie stosunek natężenia na tej wysokości do natężenia na powierzchni Ziemi jest równy 0,1.

$\gamma_{R_z}-natezenie\ na\ pow.\ Ziemi\\ \gamma_{h_x}-natezenie\ na\ wys\ R_z+h_x\\ Natezenie\ liczymy\ ze\ wzoru:\\ \gamma=G\frac{M}{r^2}\\ r-odleglosc\ liczona\ od\ srodka\ masy\ tego\ obiektu$

Mamy więc:

$\frac{\gamma_{h_x}}{\gamma_{R_z}}=\frac{1}{10}\\ \frac{GM_z}{(R_z+h)^2}*\frac{R_z^2}{GM_z}=0,1\\ R_z^2=0,1(R_z+h)^2\\ R_z=\sqrt{0,1}R_z+\sqrt{0,1}h\\ \sqrt{0,1}h=R_z-\sqrt{0,1}R_z\\$

$h=\frac{R_z(1-\frac{\sqrt{10}}{10})}{\frac{\sqrt{10}}{10}}}=R_z\frac{1-\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}=R_z({\sqrt{10}}-1)\\ h=2,1623*6370km\approx13773,851km$