Misalkan tanα dan tanβ adalah akar akar persamaan x² + πx + √2 = 0 nilai dari sin²(α+β) + π sin(α+β).... Question from @ImmanuelSinaga

September 2018 1 212 Report

Misalkan tanα dan tanβ adalah akar akar persamaan x² + πx + √2 = 0
nilai dari sin²(α+β) + π sin(α+β) cos (α+β) + √2 cos²(α+β) adalah ...

Mausuf Diketahui persamaan kuadratnya : $x^2+\pi x+ \sqrt{2}=0$
dapat diketahui dengan jelas bahwa a = 1, b = $\pi$ , c = $\sqrt{2}$
dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar - akar kuadrat diperoleh bahwa :
$x_1+x_2=- \frac{b}{a}$ dan $x_1.x_2= \frac{c}{a}$
karena akar - akarnya adalah tan $\alpha$ dan tan $\beta$ , maka:
tan $\alpha$ + tan $\beta$ = $- \frac{\pi}{1}=-\pi$
dan
tan $\alpha$ . tan $\beta$ = $\frac{ \sqrt{2}}{1}= \sqrt{2}$
Berdasarkan identitas trigonometri, diketahui bahwa :
tan $(\alpha+\beta)$ = $\frac{tan \alpha + tan \beta}{1-tan \alpha.tan \beta}$ $=\frac{-\pi}{1-\sqrt{2}}=\frac{-\pi}{1-\sqrt{2}}. \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$ (Dirasionalkan penyebutnya dengan mengalikan sekawan penyebutnya), menjadi :
$= \frac{(1+\sqrt{2})-\pi}{1-2}= \frac{(1+\sqrt{2})-\pi}{-1}=(1+\sqrt{2})\pi$
berdasarkan identitas trigonometri, diketahui bahwa :
$tan \alpha =\frac{sin \alpha}{cos \beta}$ , sehingga :
$\frac{sin (\alpha+\beta)}{cos (\alpha+\beta)} =(1+ \sqrt{2})\pi$
$\frac{sin (\alpha+\beta)}{cos (\alpha+\beta)} =\frac{(1+ \sqrt{2})\pi}{1}$
sehingga didapatkan:
$sin (\alpha+\beta)=(1+ \sqrt{2})\pi$ dan $cos (\alpha+\beta)=1$
ditanyakan :
$sin^2(\alpha+\beta)+\pi sin(\alpha+\beta) cos(\alpha + \beta)+ \sqrt{2}cos^2(\alpha+\beta)$
dengan demikian :
$((1+ \sqrt{2})\pi)^2+\pi ((1+ \sqrt{2})\pi)(1)+\sqrt{2}(1)^2$ $=(3+2 \sqrt{2})\pi^2+(1+\sqrt{2})\pi^2+\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2}+1+\sqrt{2})\pi^2+\sqrt{2}$ $=(4+3\sqrt{2})\pi^2+\sqrt{2}$