Question

Misalkan A himpunan semua bilangan rasional positif. Pada himpunan A, didefinisikan relasi K sebagai berikut: Untuk setiap x, y ∈ A, xKy jika dan hanya jika x = y.2ⁿ, untuk suatu n ∈ Z (Sebagai contoh: 6K12, karena 6 = 12.2⁻¹, tetapi 6K\13, karena 6 ≠ 13.2ⁿ untuk setiap n di Z). Tunjukkan bahwa relasi K relasi ekuivalen pada himpunan A.

Answer 1

Relasi [tex]\mathbb{K}[/tex] memenuhi sifat reflektif, simetris, dan transitif pada himpunan A. Oleh karena itu, relasi [tex]\mathbb{K}[/tex] merupakan relasi ekuivalen pada himpunan A. PembahasanRelasi Ekuivalen[tex]A[/tex] adalah himpunan semua bilangan rasional positif.[tex]\Rightarrow A=\{x\mid x\in\mathbb{Q},\ x > 0\}[/tex]Pada himpunan [tex]A[/tex], didefinisikan relasi [tex]\mathbb{K}[/tex] sebagai berikut:Untuk setiap [tex]x, y \in A[/tex], [tex]x\mathbb{K}y[/tex] jika dan hanya jika [tex]x = y\cdot2^n[/tex], untuk suatu [tex]n \in \mathbb{Z}[/tex].[tex]\begin{aligned}&\Rightarrow \forall\,x,y\in A\,,\ \exists\,n\in\mathbb{Z}:\\&\qquad\:x\mathbb{K}y\iff x=y\cdot2^n\end{aligned}[/tex]Ada 3 syarat yang harus dipenuhi relasi [tex]\mathbb{K}[/tex] agar dapat disimpulkan bahwa [tex]\mathbb{K}[/tex] adalah relasi ekuivalen, yaitu:[tex]\mathbb{K}[/tex] bersifat reflektif, jika dan hanya jika[tex]\forall\,x\in A:\ x\mathbb{K}x[/tex].[tex]\mathbb{K}[/tex] bersifat simetris, jika dan hanya jika [tex]\forall\,x,y\in A:\ x\mathbb{K}y\implies y\mathbb{K}x[/tex].[tex]\mathbb{K}[/tex] bersifat transitif, jika dan hanya jika [tex]\forall\,x,y,z\in A:\ x\mathbb{K}y\land y\mathbb{K}z\implies x\mathbb{K}z[/tex]. 1. Sifat ReflektifAkan ditunjukkan bahwa [tex]\forall a\in A:\ a\mathbb{K}a[/tex].Berdasarkan definisi, [tex]a\mathbb{K}a\iff a=a\cdot2^n[/tex].Dengan [tex]n=0\in\mathbb{Z}[/tex], dapat kita peroleh [tex]a=a\cdot2^0\implies a=a[/tex] yang merupakan pernyataan yang benar untuk setiap [tex]a\in A[/tex].⇒ Sifat reflektif relasi [tex]\mathbb{K}[/tex] terpenuhi.2. Sifat SimetrisAkan ditunjukkan bahwa [tex]\forall\,a,b\in A:\ a\mathbb{K}b\implies b\mathbb{K}a[/tex].Berdasarkan definisi, [tex]a\mathbb{K}b\iff a=b\cdot2^n[/tex].Dengan [tex]n=0\in\mathbb{Z}[/tex], kita memperoleh [tex]a=b\cdot2^0\implies a=b[/tex], yang juga berarti bahwa [tex]b=a\implies b=a\cdot2^0[/tex].Dari hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa jika [tex]a\mathbb{K}b[/tex] maka berlaku [tex]b\mathbb{K}a[/tex].Oleh karena itu, [tex]\forall\,a,b\in A:\ a\mathbb{K}b\implies b\mathbb{K}a[/tex].⇒ Sifat simetris relasi [tex]\mathbb{K}[/tex] terpenuhi.3. Sifat TransitifAkan ditunjukkan bahwa [tex]\forall\,a,b,c\in A:\ a\mathbb{K}b\land b\mathbb{K}c\implies a\mathbb{K}c[/tex].Berdasarkan definisi:[tex]\begin{cases}a\mathbb{K}b\iff a=b\cdot2^n&\quad...(i)\\b\mathbb{K}c\iff b=c\cdot2^n&\quad...(ii)\\\end{cases}[/tex]Dari (i) dan (ii) diperoleh:[tex]\implies a=\left(c\cdot2^n\right)2^n=c\cdot2^{2n}[/tex]Karena [tex]n\in\mathbb{Z}[/tex], maka [tex]2n\in\mathbb{Z}[/tex], sehingga dengan memisalkan [tex]k=2n[/tex] dengan [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex], berlaku:[tex]\exists\,k\in\mathbb{Z}:\ a=c\cdot2^{k}\iff a\mathbb{K}c[/tex]Sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa:[tex]\forall\,a,b,c\in A\,,\ \exists\,k\in\mathbb{Z}:\ a\mathbb{K}b\land b\mathbb{K}c\implies a\mathbb{K}c[/tex].⇒ Sifat transitif relasi [tex]\mathbb{K}[/tex] terpenuhi. KESIMPULANKarena telah dapat ditunjukkan bahwa relasi [tex]\mathbb{K}[/tex] memenuhi sifat reflektif, simetris, dan transitif, maka relasi [tex]\mathbb{K}[/tex] merupakan relasi ekuivalen pada himpunan [tex]A[/tex].