Materi: Baret InfinityJawaban disertai cara.... Question from @ShanedizzySukardi

April 2019 1 86 Report

Materi: Baret Infinity
Jawaban disertai cara.

Verified answer

Menggunakan pendefinisian (memunculkan mathematical fallacy, sehingga metode ini tidak dapat digunakan untuk menghitung deret tak hingga ini)
Misalkan:
$\displaystyle n=\frac{1^4+3^4+5^4+\dots}{1^4+2^4+3^4+\dots}$
Maka:
$$\begin{align}n&=\frac{1^4+3^4+5^4+\dots}{1^4+2^4+3^4+\dots} \\ n&=\frac{(1^4+2^4+3^4+\dots)-(2^4+4^4+6^4+\dots)}{1^4+2^4+3^4+\dots} \\ n&=1-2^4\times\frac{1^4+2^4+3^4+\dots}{1^4+2^4+3^4+\dots} \\ n&=1-16 \\ n&=-15\end{align}$

Tampak bahwa hasilnya bernilai negatif, padahal tidak ada tanda-tanda yang menghasilkan nilai negatif, sehingga metode ini tidak dapat digunakan.

Adapun langkah lain dalam menyelesaikan adalah dengan menggunakan mendekatan limit:

Dalam proses sumasi:
$\begin{tabular}{|c|c|}$f(n)$&$\displaystyle \sum_{i=1}^nf(i)$ \\\\ $1$&$n$ \\ $n$&$\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}$ \\ $n^2$&$\displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ \\ $n^3$&$\displaystyle\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ \\ $n^4$&$\displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$\end{tabular}$

Untuk bentuk tersebut dapat disederhanakan menjadi:
$\displaystyle \frac{1^4+3^4+5^4+\dots}{1^4+2^4+3^4+\dots}=\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle \sum_{p=1}^n(2p-1)^4}{\displaystyle\sum_{q=1}^n q^4}$

Tinjau fungsi sumasi pada pembilang:
$$\begin{align}\sum_{p=1}^n(2p-1)^4&=\sum_{p=1}^n(2p-1)^4 \\ &=\sum_{p=1}^n(16p^4-32p^3+24p^2-8p+1) \\ &=\frac{16}{30}\times n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)- \\ &~~~~\frac{32}4\times n^2(n+1)^2+\frac{24}{6}\times n(n+1)(2n+1) \\ &~~~~\frac{8}{2}\times n(n+1)+n \\ &=\frac1{15}(48n^5-40n^3+7n)\end{align}$

Tinjau sumasi pada penyebut:
$$\begin{align}\sum_{q=1}^nq^4&=\frac1{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) \\ &=\frac1{30}(6n^5+15n^4+10n^3-3n)\end{align}$

Sederhanakan bentuk dan selesaikan dengan limit:
$$\begin{align} \frac{1^4+3^4+5^4+\dots}{1^4+2^4+3^4+\dots}&=\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle \sum_{p=1}^n(2p-1)^4}{\displaystyle\sum_{q=1}^n q^4} \\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1{15}(48n^5-40n^3+7n)}{\frac1{30}(6n^5+15n^4+10n^3-3n)} \\ &=\frac{48/15}{6/30}=\frac{16/5}{1/5} \\ &=16\end{align}$

3 votes Thanks 4

ShanedizzySukardi jago skali mas wkwk

ShanedizzySukardi trima kasih bnyak :D

Takamori37 Sama-sama :) Aku juga tadi membutuhkan beberapa software matematika untuk membantu memastikan kebenaran jawaban, hehe