Question

Mamy dany ciąg liczbowy: 1,5,11,19,29,41,55,... Ile wynosi setny wyraz tego ciągu?

Answer 1

wyrazy ciągu roznia sie o kolejne liczby parzyste poczawszy od 4
dla n≥1
a₁=1
an=a(n-1) +2n a(n-1) ozn wyraz poprzedni n-1 to indeks na dole oznaczenia dla n>1

 

1,5,11,19,29,41,55...

  4  6  8  10  12  14   roznica miedzy wyrazami 

     2   2  2  2    2  

sporzadzajac wykres ciagu wyrazy ukladaja sie w ramie paraboli 

an= an²+bn+c

do wykresu naleza punkty (1,1) (2,5) (3,11)  a₁,a₂,a₃

podstawiamy:

1=a+b+c     ⇒  c=1-a-b

5=4a+2b+c   ⇒ 5=4a+2b+1-a-b ⇒  4= 3a+b⇒ b=4-3a

11=9a+3b+c  ⇒ 11=9a+3b+1-a-b⇒10=8a+2b ⇒ 10=8a+2(4-3a) ⇒ 10=8a+8 -6a ⇒ 2= 2a⇒ a=1

b=4-3a ⇒ b=1

c=1-a-b ⇒c= -1

 

an=n²+n -1

 

zatem

a₁₀₀=100²+100 -1=10000 +99=10099