Question

Mam zadanie ale nie wiem jak je zrobić proszę o pomoc. Wyznaczony równanie stycznej do okręgu (x−4)2 +y2=10 i równoległej do prostej y=3x. Proszę o pomoc to na dzisiaj

Answer 1

Prosta równoległa do y = 3x ma równanie y = 3x + b
Niech A(xa, ya) będzie punktem należącym do prostej y = 3x + b.
oraz A nalezy do podanego okręgu (x-4)^2 + y^2 = 10
Jeżeli tak, to spełnione są równania:
ya = 3xa + b i (xa-4)^2 + ya^2 = 10
czyli:
(xa-4)^2 + (3xa+b)^2 = 10
Prosta przecinająca okrąg może przecinać go w 1 punkcie (styczna) lub w dwóch punktach. W zadaniu chodzi o styczną. Zatem jest tylko jeden taki punkt, który spełnia oba równania i jest dokładnie jedno rozwiązanie równania (xa-4)^2 + (3xa+b)^2 = 10.
Dla jakiego b równanie (xa-4)^2 + (3xa+b)^2 = 10 ma dokładnie jedno rozwiązanie? Obliczenia: (piszę dalej zamiast xa, to x, dla wygody)
(x-4)^2 + (3x+b)^2 = 10
10x^2 + (6b-8)x + b^2 + 16 - 10 = 0
10x^2 + (6b-8)x + b^2 +6 = 0
równanie ma jedno rozwiazanie, wiec delta = 0
(6b+8)^2 - 4*10*(b^2+6) = 0  /:4
(3b+4)^2 - 10(b^2+6)=0
9b^2 + 24b + 16 - 10b^2 - 60 = 0
b^2 - 24b + 44 = 0
delta = 24^24 - 4*44 = 576 - 176 = 400
b1 = (24 - 20) / 2 = 2
b2 = (24 + 20) / 2 = 22
(b-2)(b-22) = 0

Odpowiedz:
Są dwie takie styczne do okregu:
y = 3x - 2
y = 3x - 22