Luas daerah yang dibatasi x^2+y^2=1 dan parabola y=-x^2+1 sama dengan ....satuan luascaranya bagaima.... Question from @Sarahnella

June 2019 1 114 Report

Luas daerah yang dibatasi x^2+y^2=1 dan parabola
y=-x^2+1 sama dengan ....satuan luas

caranya bagaimana bingung di lingkarannya

Kilos

Verified answer

Anggap daerah yang dimaksud adalah daerah di bawah kurva y = -x^2 + 1

Tentukan titik potong :
x^2 + y^2 = 1
x^2 + (-x^2 + 1)^2 = 1
x^2 + x^4 - 2x^2 + 1 = 1
x^4 - x^2 = 0
x^2(x^2 - 1) = 0
x^2(x + 1)(x - 1) = 0

Jadi, titik memotong di x = 0, x = 1 dan x = -1

x^2 + y^2 = 1
y^2 = -x^2 + 1
y = √(-x^2 + 1) atau -√(-x^2 + 1)

Karena y = -x^2 + 1 adalah kurva yang tertutup ke bawah, maka y = -x^2 + 1 berada di atas lingkaran, maka y = -√(-x^2 + 1)

sehingga, luas daerahnya adalah :
(Ini pakai latex, ya)
$$\begin{align}&\int^0_{-1} (-x^2+1) - (-\sqrt{-x^2+1}) dx + \int^1_{0} (-x^2+1) - (-\sqrt{-x^2+1}) dx \\ &=\int^0_{-1} (-x^2+1) +\sqrt{-x^2+1}\ dx + \int^1_{0} (-x^2+1) +\sqrt{-x^2+1}\ dx \end{align}$

Gunakan subtitusi trigonometri, sehingga :

$$\begin{align}&\int(-x^2+1) +\sqrt{-x^2+1} dx \\ &=\frac{1}{6}(-2x^3+3x\sqrt{-x^2+1}+6x+3\sin^{-1}(x))\end{align}$

Masukkan batasnya, didapatkanlah

(2/3 + π/4) + (2/3 + π/4)
= 2(2/3 + π/4)
= 4/3 + π/2
= (8 + 3π)/6

==========

Cara lainnya, manual.

Cari luas di bawah kurva y = -x^2 + 1

$$\begin{align}&\int^0_{-1} -x^2+1\ dx+\int^1_0 -x^2+1\ dx \\ &=-\frac{1}{3}x^3+x|^0_{-1}+(-\frac{1}{3}x^3+x)|^1_0 \\ &=(-(\frac{1}{3}-1))+(-\frac{1}{3}+1) \\ &=\frac{2}{3}+\frac{2}{3} \\ &=\frac{4}{3}\end{align}$

Lalu, karena x^2 + y^2 = 1, maka jari-jarinya 1, sehingga luas setengah lingkarannya adalah :
(1/2)πr^2 = (1/2)π = π/2

Sehingga, luasnya = 4/3 + π/2 = (8 + 3π)/6

2 votes Thanks 1

Sarahnella makasih banyak kak

Kilos iya, sama-sama banyak