Question

Los puntos A, B, P, C se encuentran sobre una línea recta de modo que P es punto medio de (BC), además (AB) ^2+(AC) ^2=46. Hallar (AP) ^2+(BP)^2

Answer 1

Sean los puntos:
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si P es punto medio de BC se tiene que BP = PC:

                 A                B                   P                  C
                 |---------------|-----------------|-----------------|
                          x                 y                    y     

Del dato del problema:
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                      AB² + AC² = 46
                  x² + (x + 2y)² = 46
x² + x² + 2(x)(2y) + (2y)² = 46
              2x² + 4xy + 4y² = 46                        Simplificando 2
                x² + 2xy + 2y² = 23

Nos Piden:
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AP² + BP² = (x + y)² + y²
AP² + BP² = x² +2xy+ y² + y²
AP² + BP² = x² + 2xy + 2y²                   Reemplazamos:  x² + 2xy + 2y² = 23
AP² + BP² = 23

Respuesta:
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Se tiene AP² + BP² = 23