Question

LOGIKA 50pkt. Zbadać czy reakcja z załącznika jest zwrotna, symetryczna, słabo antysymetryczna, przechodnia i spójna.

Answer 1

wtw gdy
Czy jest zwrotna?
wtw gdy   czyli relacja nie jest zwrotna bo np nie prawda ze (2,1)R2,1). Nie jest tez przeciwzwrotna bo np. (n,n)R(n,n) dla dowolnego n.

Czy jest symetryczna?
Nie wyglada, wiec strzele w kontrprzyklad
(4,6)R(2,3) bo 2|6 i 4>3 ale 
nie prawda ze  (2,3)R(4,6) bo 4 nie dzieli 3

Czy jest antysymetryczna (=slabo antysymetryczna)?
Zalozmy ze  oraz 
Jesli wynika stad ze  to odpowiedz jest twierdzaca. 
Z zalozenia i definicji relacji wiemy ze 
oraz 
co w szczegolnosci oznacza ze 
oraz 
co oznacza ze . 
Czyli jest antysymetryczna.

Czy jest spojna? Raczej nie, znajdzmy kontrprzyklad.
nie prawda ze (7,5)R(9,11) bo 7<11
nie prawda rowniez ze (9,11)R(7,5) bo 7 nie dzieli 11

Czy jest przechodnia? Ma szanse bo podzielnosc jest przechodnia i "mniejszosc" tez ale ta relacja miesza jeszcze w kolejnosci argumentow wiec raczej szuklabym kontrprzykladu.
(7,10)R(2,11) i (2,11)R(11,3) ale nie (7,10)R(11,3) bo 11 nie dzieli 10
wiec nie jest przechodnia