Question

LO NECESITO RAPIDO, POR FAVOR AYUDENME

1. ¿Como se obtienen las gráficas de las funciones: f(x) = a
x^{2} + bx y la funcion g(x) = ax^{2} + c?

2. ¿Como se encuentra, sin hacer la grafica, la direccion hacia donde abre la parabola y los puntos de corte con los ejes de la funcion: f(x) = 3 x^{2} ?

3. ¿Como se puede obtener la grafica de la funcion y = \alpha x^{2} + bx + c a partir de la grafica de la funcion y = \alpha x^{2} + bx ?

Answer 1

Actividad 1

1) Antes de comenzar, analicen junto con el docente la siguiente información sobre la función cuadrática:

- Toda función cuadrática se puede expresar de la siguiente forma: f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. Esta forma de escribir a la función cuadrática se denominapolinómica.

- El gráfico de una función cuadrática está formado por puntos que pertenecen a una curva llamada parábola. Miren el gráfico y vean los elementos que se distinguen en él:

Raíces (raíz1 yraíz2): las raíces o ceros de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0. Gráficamente, las raíces corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x.

Podemos determinar las raíces de una función cuadrática igualando a cero la función f(x) = 0, y así obtendremos la siguiente ecuación cuadrática: ax2 + bx +c = 0

Para calcular las raíces se utiliza la siguiente fórmula:

Eje de simetría (eje): representa la recta vertical simétrica con respecto a la parábola.

El eje de simetría de una parábola puede determinarse mediante la siguiente expresión: 

donde x1 y x2son las raíces de la función cuadrática.

Vértice (vértice): el vértice de la parábola está ubicado sobre el eje de simetría y es el único punto de intersección de la parábola con el eje de simetría. A la coordenada x de este punto la llamaremos xv  y a la y, yv. El vértice de la parábola vendrá dado por las siguientes coordenadas: V =(xv; yv).

Las coordenadas del vértice también pueden hallarse analíticamente por las siguientes expresiones:

El valor xv se obtiene con la misma expresión que el eje de simetría: 

Una vez obtenido el valor xv podemos determinar yv evaluando la función cuadrática yv = f(xv).

2) A partir de lo analizado anteriormente, contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Una función cuadrática tendrá siempre dos raíces?

b) ¿El grafico de la función cuadrática será siempre una parábola cóncava (con las ramas hacia arriba), como se muestra en el gráfico?

Para contestar estas preguntas, ingresen al siguiente link, que les será de gran ayuda para profundizar este tema.

Características de la función cuadrática

Actividad 2

1) ¿Cuáles de las siguientes son funciones son cuadráticas?

a) f(x) = 2(x - 3)2 - 5(2x + 3) + 8x(3 - 2x)

b) g(x) = 4x2 - 3(x - 6) - (2x - 3)2 + 5x - 8

c) h(x) = 6x - 3x(x+5) - 2(x - 1)(3 - x) + 6

d) t(x) = 2(x-1)2 - 2x(x + 2) + 5

Utilizando el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, grafiquen las funciones cuadráticas encontradas. Luego señalen las raíces, el vértice y su eje de simetría.

2) Grafiquen las siguientes funciones cuadráticas:

a) f(x) = x² - 2x - 1

b) f(x) = x² + 2x + 1

c) f(x) = x² - 2x + 2

A partir de los gráficos realizados anteriormente, contesten:

a) ¿Existe diferencia entre los gráficos? Justifiquen su respuesta.

b) ¿Cuántas raíces tiene cada función?

c) ¿Se puede encontrar el vértice sobre la recta x en alguna de las funciones?

d) ¿Alguna de las funciones no corta en el eje x? De ser así, indiquen cuánto valen sus raíces.

Actividad 3

1) Utilizando el programa Geogebra, grafiquen las siguientes funciones:

a) f(x) = -3x2 + 2x + 1

b) g(x) = 1/2 x2 +3 x - 1

2) Una vez graficadas, determinen gráfica y analíticamente los siguientes elementos: raíces de la función, el vértice, el eje de simetría y la ordenada al origen de las funciones.

a) ¿Cuál es el punto de intersección entre las funciones? ¿Cómo podrían calcularlo analíticamente?

3) Hallen la expresión de la función cuadrática que cumpla con los siguientes requisitos:

a) Su gráfico pasa por el punto (3, -1) y su vértice es el punto V = (-2, 3)

b) Su gráfico intersecta al eje y en (0, 7) y su vértice es el punto V= (3, 2)