Question

La mas dificil del mundo: cuanto equivalen los factores? A^x + B^y = C^z

Answer 1

El valor absoluto de un número entero a es su magnitud, prescindiendo del signo. Se escribe y se define del siguiente modo:

Observa la recta numérica:

Los números +3 y –3 se encuentran a la misma distancia del cero. Ocurre así porque los dos números están formados por el mismo número natural, el 3 , aunque con distinto signo. Al número 3 se le llama valor absoluto de +3 y –3, y se indica así:

|+3| = | -3 | = 3

Por tanto, el resultado siempre es un número positivo.

El Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre barras.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Propiedades de clausura

Si existen tales que:

y, de esto,

De la clausura de la adición sobre se sigue, por definición, que

Se tiene que la adición sobre el conjunto de los números enteros verifica la propiedad

Para cualesquiera 

Lo mismo cumple la multiplicación sobre 

Para cualesquiera 

Propiedades asociativas

Las propiedades asociativas de la adición y la multiplicación sobre se siguen fácilmente de las definiciones de estas operaciones. Estas propiedades son:

Para cualesquiera 

y

Para cualesquiera 

Propiedades conmutativas

Puesto que [(m,n)]+[(p,q)]=[(m+p\ ,\ n+q)]=[(p+m\ ,\ q+n)]=[(p,q)]+[(m,n)] para cualesquiera tenemos que

Para cualesquiera 

Esta es la propiedad conmutativa de la adición sobre Esta propiedad la tiene también la multiplicación:

Para cualesquiera 

Propiedad distributiva

Sean los enteros [(a,b)], [(c,d)] y [(m,n)]. Tenemos

= 

 = =

=

=

Por tanto se cumple la siguiente propiedad distributiva

Para cualesquiera 

Existencia de elementos neutros

El cero, 0 = [(n,n)], tiene la característica de que para todo entero [(a,b)],

y como a + (b + n) = b + (a + n) sean cuales sean los números naturales a,b,n, tenemos de donde por lo que el cero es un elemento neutro para la adición sobre En

para todo términos más sencillos,

Se define como sigue:

Vemos que, para todo entero [(a,b)],

y, puesto que resulta que 1 es un elemento neutro para la multiplicación sobre Es decir,

para todo pt.

a+b _ c

Existencia de elemento opuesto

Para cada número existe un elemento opuesto que denotaremos por tal que:

Para demostrar que existe el elemento opuesto podemos constrirlo explícitamente como que cumple obviamente la propiedad anterior:

Unicidad del elemento opuesto

Además este opuesto es único. Esto significa que para cada entero existe un único número tal que sumado con él el resultado es cero. Para verlo podemos suponer que existen dos opuestos y entonces sucede que:

En esta prueba de que el elemento opuesto hemos usado la propiedad asociativa y la unicidad del elemento neutro.

Propiedades cancelativas

Sean y a + b = a + c. Tenemos que gracias a la existencia del elemento opuesto:

Por tanto, se cumple la siguiente propiedad cancelativa

Para todo 

Para la multiplicación también se cumple la propiedad cancelativa, aunque para demostrar esto debe utilizarse un método distinto, ya que no todo elemento de es una unidad (esto es, no todo entero tiene un inverso), y por tanto con su multiplicación, no es un anillo de división. La prueba que sigue de la propiedad cancelativa para la multiplicación se basa en el hecho de que es un dominio íntegro. Sean pues y ab = ac con Tenemos que ab - ac = 0, y de la propiedad distributiva a(b - c) = 0, o sea que b - c = 0, lo que demuestra que b = c.

Se cumple pues la propiedad cancelativa siguiente:

Para todo con 

Propiedades de orden

Si a = b Entonces b = a

Propiedad reflexiva del orden

a = a

Propiedad antisimétrica del orden

Si a = b y b = a, entonces a = b.

Propiedad transitiva del orden

Si a < b y b < c, entonces a < c.

Compatibilidad del orden con las operaciones

Si a = b entonces a+c = b+c,

para todo c 

y si c = 0, con a = b entonces a c = b c

Propiedad o axioma de la buena ordenación

Sea S un subconjunto no vacío de Z, acotado inferiormente, entonces S tiene primer elemento.

Este axioma indica que el conjunto S tiene un ínfimo y un supremo, lo que quiere decir es que S del conjunto de cotas superiores y cotas inferiores tiene un elemento menor de las cotas superiores llamado supremo que a su vez es mayor que todos los elementos del conjunto S.

ORDEN EN Z

En la representación de los enteros en la recta numérica se observa el orden que existe en el conjunto de los números enteros, siendo los números negativos menores que los positivos y que el cero.