KUISPGL yg melewati (0, 6) dan (-2, 2) = f''(x)Jika 0 = f'(-3). Tentukan titik belok f(x) atau'saddl.... Question from @xcvi

June 2022 1 45 Report

KUIS

PGL yg melewati (0, 6) dan (-2, 2) = f''(x)
Jika 0 = f'(-3). Tentukan titik belok f(x) atau
'saddle point' dari f(x), JIKA 246 = f(6)

henriyulianto

Titik belok $f(x)$ adalah $\bf(-3,\:3)$ .

Pembahasan

Titik Stasioner Fungsi: Titik Belok

PGL yg melewati $(0,\:6)$ dan $(-2,\:2)$ = $f''(x)$ . Maka:

$\begin{aligned}&\frac{f''(x)-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\\&{\Rightarrow\ }f''(x)=\frac{(y_2-y_1)(x-x_1)}{x_2-x_1}+y_1\\&{\quad}[\:x_1=0,\:y_1=6,\:x_2=-2,\:y_2=2\:]\\&{\Rightarrow\ }f''(x)=\frac{(2-6)(x-0)}{-2-0}+6\\&{\qquad\qquad\!\!}=\frac{-4x}{-2}+6\\&{\therefore\ \;}f''(x)=2x+6\end{aligned}$

Dapat kita perhatikan bahwa turunan kedua berderajat satu. Oleh karena itu, $f(x)$ berderajat tiga.

Grafik fungsi $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ "berbelok" ketika turunan keduanya bernilai 0.

$\begin{aligned}&&\!\!\!\!\!\!f''(x)&=0\\&\Rightarrow&0&=2x+6\\&\Rightarrow&2x&=-6\\&\therefore&x&=\bf-3\end{aligned}$

⇒ Diperoleh titik belok: $\bf\bigl(-3,\:f(-3)\bigr)$

Untuk mengetahui ordinatnya, kita perlu mencari nilai $f(-3)$ .

Kita tentukan $f'(x)$ terlebih dahulu.

$\begin{aligned}f'(x)&=\int{f''(x)\,dx}\\&=\int{(2x+6)\,dx}\\&=x^2+6x+C\\ [ \: x &= -3\ \Rightarrow\ f'(-3)=0 \: ]\\\Rightarrow\;0&=9-18+C\\&=-9+C\\\Rightarrow C&=9\\\therefore\ f'(x)&=x^2+6x+9\\&=(x+3)^2\end{aligned}$

Jika ingin memeriksa apakah benar $\bigl(-3,\:f(-3)\bigr)$ adalah titik belok $f(x)$ , ambil $a=-4$ dan $b=-2$ .

$\begin{aligned}\bullet\ a=-4&\Rightarrow (-4+3)^2=1 > 0\\\bullet\ b=-2&\Rightarrow (-2+3)^2=1 > 0\\\end{aligned}$

Karena $f(a) > 0$ dan $f(b) > 0$ (sama-sama positif), maka benar bahwa $\bigl(-3,\:f(-3)\bigr)$ adalah titik belok (saddle point).

Sekarang, kita tentukan $f(x)$ .

$\begin{aligned}f(x)&=\int f'(x)\,dx\\&=\int\left(x^2+6x+9\right)dx\\&=\frac{1}{3}x^3+3x^2+9x+C\\ [\:x&=6\ \Rightarrow\ f(6)=246\:]\\\Rightarrow 246&=\frac{1}{3}\cdot6^3+3\cdot36+9\cdot6+C\\&=2\cdot36+3\cdot36+54+C\\&=5\cdot36+54+C\\&=180+54+C\\&=234+C\\\Rightarrow\ \ C&=12\\\therefore f(x)&=\frac{1}{3}x^3+3x^2+9x+12\end{aligned}$

Kemudian, hitung nilai $f(-3)$ sebagai ordinat titik belok.

$\begin{aligned}f(-3)&=\frac{1}{3}\cdot(-3)^3+3\cdot(-3)^2+9\cdot(-3)+12\\&=-(-3)^2+27-27+12\\&=-9+12\\f(-3)&=\bf3\end{aligned}$
⇒ Titik belok: $(-3,\:3)$
$\blacksquare$