Kuis (medium-susah): Diketahui fungsi f(x) adalah rumus suku ke-x dari deret {6, 9, 20, 57, 138, 281.... Question from @xcvi

September 2022 1 55 Report

Kuis (medium-susah):
Diketahui fungsi f(x) adalah rumus suku ke-x
dari deret {6, 9, 20, 57, 138, 281}, turunan kedua
dari f(x) adalah g(x), dan g(x) adalah rumus suku
ke-x dari sebuah deret aritmatika tingkat I.

Rumus jumlah x suku pertama dari deret
aritmatika tingkat I yg direpresentasikan oleh g(x)
adalah Sx = Px² - Qx. Maka nilai Q - P = ........

henriyulianto

Nilai Q – P = 10.
 

Pembahasan

Diketahui:

Fungsi f(x) adalah rumus suku ke-x dari deret {6, 9, 20, 57, 138, 281},
Turunan kedua dari f(x) adalah g(x), dan g(x) adalah rumus suku ke-x dari sebuah deret aritmatika tingkat I.
Rumus jumlah x suku pertama dari deret aritmatika tingkat I yg direpresentasikan oleh g(x) adalah Sx = Px² – Qx.

Ditanyakan:

Nilai Q – P

Penyelesaian

Kesimpulan awal:

g(x) berderajat 1 (linier), dan
f(x) berderajat 3 (kubik).

Barisan 6, 9, 20, 57, 138, 281:

Beda di tingkat I = 3, 11, 37, 81, 143
⇒ b = 3
Beda di tingkat II = 8, 26, 44, 62
⇒ c = 8
Beda di tingkat III = 18 (konstan)
⇒ d = 18

Maka:

$\begin{aligned}\vphantom{\bigg|}f(x)&=a+(x-1)b+\frac{(x-1)(x-2)c}{2!}\\&\vphantom{\bigg|}\ \:\vdots\quad{}+\frac{(x-1)(x-2)(x-3)d}{3!}\\\end{aligned}$

2 suku pertama pada f(x) akan habis pada turunan kedua dari f(x). Sedangkan pembilang suku ke-3 berderajat 2, sehingga turunan keduanya adalah $(2c)/2!=c$ .

Lalu, untuk suku ke-4 pada f(x):

$\begin{aligned}\vphantom{\Bigg|}&\left[\frac{(x-1)(x-2)(x-3)d}{3!}\right]''\\\vphantom{\Bigg|}&=\left[\frac{(x^2-3x+2)(x-3)d}{6}\right]''\\\vphantom{\Bigg|}&=\left[\frac{(x^3-6x^2+11x-6)d}{6}\right]''\\\vphantom{\bigg|}&=\frac{d}{6}\left(3x^2-12x+11\right)'\\\vphantom{\bigg|}&=\frac{d}{6}\left(6x-12\right)\\\vphantom{\big|}&=d(x-2)\end{aligned}$

Oleh karena itu,

$\begin{aligned}\vphantom{\big|}g(x)&=c+d(x-2)\\\vphantom{\big|}&\quad[\,c=8,d=18\,]\\\vphantom{\big|}&=8+18(x-2)\\\vphantom{\big|}\therefore\ g(x)&=18x-28\\\end{aligned}$

Jumlah x suku pertama dari deret aritmatika tingkat I yg direpresentasikan oleh g(x):

$\begin{aligned}\vphantom{\bigg|}S_x&=\frac{x(U_1+U_x)}{2}\\\vphantom{\bigg|}&=\frac{x(g(1)+g(x))}{2}\\\vphantom{\bigg|}&=\frac{x(18-28+18x-28)}{2}\\\vphantom{\bigg|}&=\frac{x(-10+18x-28)}{2}\\\vphantom{\bigg|}&=\frac{x(18x-38)}{2}\\\vphantom{\big|}&=x(9x-19)\\\vphantom{\big|}&=9x^2-19x\quad[{}=Px^2-Qx]\\\vphantom{\big|}\Rightarrow P&={\bf9},\ Q={\bf19}\\\end{aligned}$