Question

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma 12 cm i tworzy z wysokością ostrosłupa kąt 30 stopni. Obliczyć V i Pc.

Answer 1

H - wysokość ostrosłupa = ?
b - krawędź boczna = 12 cm
∡α = 30°
h/b = sinα
H = b * sinα = 12 * sin30° = 12 * 1/2 = 6 cm
a - krawędź podstawy
h - wysokość podstawy = a√3/2
2/3 h = 2/3 * a√3/2 = a√3/3
a√3/3 = √(b² - H²) = √(12² - 6²) = √(144 - 36) = √108 = 6√3 cm
a√3/3 = 6√3
a√3 = 18√3
a - krawędź podstawy = 18√3/√3 = 18 cm
h₁ - wysokość ściany bocznej = √[(b² - (a/2)²] = √(12² - 9²) = √(144 - 81) = √63 = 3√7
Pp - pole podstawy = a²√3/4 = 18²√3/4 = 324√3/4 = 81√3 cm²
Pb - pole powierzchni bocznej = 3 * a * h₁/2 = 3 * 18 * 3√7/2 = 81√7 cm²
Pc - pole powierzchni całkowitej = Pp + Pb = 81√3 + 81√7 = 81(√3 + √7) cm²
V - objętość = 1/3 * Pp * H = 1/3 * 81√3 * 6 = 162√3 cm³