Question

Kostka do gry: sześcienna o ośmiościenna mają krawędzie takiej samej długości i są wykonane z tego samego materiału. która z kostek jest cięższa? o ile procent jest cięższa?

Answer 1

Policzmy objętość obu kostek, przyjmując że długość krawędzi obu kostek jest równa a

Kostka sześcienna V = a * a * a = a³
Kostka ośmiościenna to objętość dwóch połączonych ostrosłupów o podstawie kwadratu
Pole podstawy w takim jednym ostrosłupie = a*a = a²
Długość wysokości w takim ostrosłupie można policzyć z tw. Pitagorasa
a² = (a√2/2)² + h²
a² - (2/4(a² = h²
h² = (4/4)a² - (2/4)a²
h² = (2/4)a²
h = (√2/2)a
Zatem objętość jednego ostrosłupa wynosi
V = (1/3) * a² * (√2/2)a = (√2/6)a³
Zatem objętość kostki ośmiościennej wynosi
V = 2 * (√2/6)a³ = (√2/3)a³

Znana jest zależność objętości i masy
q = m/V
gdzie
q - gęstość
m - masa
V - objętość

Obie kostki są wykonane z tego samego materiału więc mają taką samą gęstość
Po przekształceniu wzoru (pomnożenie obustronne przez V) mamy
m = q * V
Zatem ten ma większą masę który ma większą objętość ( to niby logiczne - który większy ten cięższy - ale tu masz uzasadnienie czysto z fizyki)

Większą objętość ma kostka sześcienna bo 1 > √2/3 ( √2/3 = 0,47) a³ > (√2/3)a³
Zatem to ona jest cięższa :)
Cięższa jest o 1 - √2/3 = 3/3 - √2/3 = (3-√2)/3 ≈ 0,53 = 53%