Korzystając ze wzorów Cramera rozwiązać układ równań: x+2y+3z=1 2x+3y+z=3 3x+y+2z=2.... Question from @Marcin656

January 2019 1 9 Report

Korzystając ze wzorów Cramera rozwiązać układ równań:

x+2y+3z=1
2x+3y+z=3
3x+y+2z=2

Paawełek 1. Wyznaczam wyznacznik macierzy głównej (przepisuję wszystkie wyrazy oprócz wyrazów wolnych)

$W= \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\end{array}\right]$

$\det W= \det \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\end{array}\right] \xrightarrow{w_1-3w_2} \det \left[\begin{array}{ccc}-5&-7&0\\2&3&1\\3&1&2\end{array}\right] \xrightarrow{w_2-\frac{1}{2}w_3} \\ \\ \det \left[\begin{array}{ccc}-5&-7&0\\\frac{1}{2}&\frac{5}{2}&0\\3&1&2\end{array}\right] = 2 \cdot (-1)^{3+3} \cdot \det \left[\begin{array}{cc}-5&-7\\\frac{1}{2}&\frac{5}{2}&\end{array}\right] = \\ \\ = 2 \cdot \left(-5 \cdot \frac{5}{2}-(-7) \cdot \frac{1}{2}\right)=$

$=2 \cdot \left(-\frac{18}{2}\right)=-18 \neq 0$

2. Wyznacznik główny jest różny od zera, więc mamy jedną trójkę rozwiązań. Wyznaczam po kolei wyznaczniki macierzy Wx, Wy, Wz
(Wx - zastępujesz pierwszą kolumnę wyrazami wolnymi 1,3,2
Wy - zastępujesz drugą kolumnę
Wz - zastępujesz trzecią kolumnę)

$\det W_x=\det \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\3&3&1\\2&1&2\end{array}\right] \xrightarrow{w_1-3w_2} \det \left[\begin{array}{ccc}-8&-7&0\\3&3&1\\2&1&2\end{array}\right] \xrightarrow{w_2-\frac{1}{2}w_3} \\ \\ \det \left[\begin{array}{ccc}-8&-7&0\\2&\frac{5}{2}&0\\2&1&2\end{array}\right] =2 \cdot (-1)^{3+3} \det \left[\begin{array}{cc}-8&-7\\2&\frac{5}{2}\end{array}\right] = \\ \\ =2(-20+14)=-12$

$\det W_y=\det \left[\begin{array}{ccc}1&1&3\\2&3&1\\3&2&2\end{array}\right] \xrightarrow{w_1-3w_2} \det \left[\begin{array}{ccc}-5&-8&0\\2&3&1\\3&2&2\end{array}\right] \xrightarrow{w_2-\frac{1}{2}w_3} \\ \\ \det \left[\begin{array}{ccc}-5&-8&0\\\frac{1}{2}&2&0\\3&2&2\end{array}\right] =2 \cdot (-1)^{3+3} \det \left[\begin{array}{cc}-5&-8\\\frac{1}{2}&2\end{array}\right] = \\ \\ =2(-10+4)=-12$

$\det W_z=\det \left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&3&3\\3&1&2\end{array}\right] \xrightarrow{w_1-\frac{1}{3}w_2} \det \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}&1&0\\2&3&3\\3&1&2\end{array}\right] \xrightarrow{w_2-\frac{3}{2}w_3} \\ \\ \det \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}&1&0\\-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}&0\\3&1&2\end{array}\right] =2 \cdot (-1)^{3+3} \det \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3}&1\\-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\end{array}\right] = \\ \\ =2\left((\frac{1}{2}+\frac{5}{2}\right)=6$

3. Wyznaczam x,y,z z poniższych wzorów:
$x=\dfrac{\det W_x}{\det W}=\dfrac{-12}{-18}=\dfrac{2}{3} \\ \\ y=\dfrac{\det W_y}{\det W}=\dfrac{-12}{-18}=\dfrac{2}{3} \\ \\ z=\dfrac{\det W_z}{\det W}=\dfrac{6}{-18}=-\dfrac{1}{3}$

4. Formułuję odpowiedź:

$\begin{cases} x=\dfrac{2}{3} \\ y=\dfrac{2}{3} \\ z=-\dfrac{1}{3}\end{cases}$

Co do metody wyznaczania wyznaczników macierzy: Sprowadzałem trzecią kolumnę do tego aby mieć 2 zera, a następnie wykorzystałem rozwinięcie Laplace'a względem kolumny trzeciej a zatem tylko względem liczby stojącej w 3 kolumnie i 3 wierszu skoro były tam dwa zera.

W razie niezrozumienia - pisz komentarze.

2 votes Thanks 0