Question

Korzystając z indukcji matematycznej wykaż, że
3^n > n * 2^n

Answer 1

3^n > n * 2^n

dla n=1 mamy
3¹> 1*2¹
3>1*2
3>2 (prawda)
dla n=2 mamy
3²> 2*2²
9> 2*4
9>8 (prawda)
Patrzymy teraz na n >2
Zakładamy że dla n jest to prawda i sprawdzamy poprawność dla n+1
3^(n+1) > (n+1) * 2 ^ (n+1)
(n+1) * 2^(n+1)=
(n+1) * 2^n * 2¹ =
(n+1) * 2^n * 2 =
2n*2^n + 2*2^n

3^(n+1) =
(3^n)*(3^1) =
(3^n )*3=3*(3^n) [z założenia] >
> 3*[n*2^n]=
(2+1)*[n*2^n]=
2*n*(2^n) + 1*n*(2^n)=
(2^1)*n*(2^n) + 1*n*(2^n)=
n*2^(n+1) + n*(2^n) [ z założenia są to wszystkie n>2, więc nierówność zachodzi jeśli z założenia wezmę że n=2> n*2^(n+1) + 2*2^n =
n*2^(n+1) + 2^(n+1) =
(n+1) * 2 ^ (n+1)
Koniec (tu powinno być jeszcze zdanie kończące - że zachodzi dla wszystkich n naturalnych)