Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć granice a) b) c).... Question from @Gocha123

December 2018 1 77 Report

Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć granice
a)
$\lim_{n \to \ -2} \frac{ln( x^{2} -3)}{x+2}$
b)
$\lim_{n \to \ 0}[1+tg(2x)]^{ctgx}$
c)
$\lim_{n \to \ 0} \frac{ \sqrt[3]{1+x}- \sqrt[6]{1-x} }{x}$

Paawełek Jak wcześniej wspomniałem w pierwszej granicy masz symbol 0/0.
Liczę pochodną licznika oraz mianownika:
$\hbox{Licznik:} \ \ (\ln (x^2-3))' = \frac{(x^2-3)'}{x^2-3}=\frac{2x}{x^2-3} \\ \hbox{Mianownik:} \ \ (x+2)'=1$
Zatem na podstawie reguły de'l Hospitala ta granica wyniesie:
$\lim\limits_{x\to-2} \frac{\frac{2x}{x^2-3}}{1}=\lim\limits_{x\to -2} \frac{2x}{x^2-3} = \frac{2 \cdot (-2)}{(-2)^2-3}= \frac{-4}{1}=\boxed{-4}$

Następne, b)
Wykorzystuję fakt, iż:
$x=e^{\ln x} \\ \hbox{Skad:} \\ (1+\tan (2x))^{\cot x}=\left(e^{\ln (1+\tan (2x))}\right)^{\cot x} = e^{\cot x \cdot \ln (1+\tan (2x))}$
Liczę granicę wykładnika. jest to symbol nieoznaczony nieskończonść razy 0. Zauważam, że:
$\cot x \cdot \ln (1+\tan (2x) )= \frac{\ln (1+\tan (2x))}{\frac{1}{\cot x}}=\frac{\ln (\tan (2x)+1)}{\tan x}$
Jest to teraz symbol nieoznaczony 0/0 więc liczę pochodną licznika i mianownika jak poprzednio. Mamy:
$\hbox{Licznik:} \ \ [\ln(\tan(2x)+1) ]' = (\tan (2x)+1)' \cdot \frac{1}{\tan(2x)+1}= \\ = \frac{2}{\cos^2 x} \cdot \frac{1}{\tan (2x)+1}= \frac{2}{\cos^2 x(\tan (2x)+1)} \\ \hbox{Mianownik:} \ \ (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
A zatem doszliśmy do tego że granica wykładnika wyniesie:
$\lim\limits_{x\to 0} \frac{ \frac{2}{\cos^2 x(\tan (2x)+1)}}{\frac{1}{\cos^2 x}}=\lim\limits_{x\to 0} \frac{2\cos^2 x}{\cos^2 x(\tan (2x)+1)}= \frac{2\cos^2 0 }{\cos^2 0 \cdot (\tan 0+1)}= \\ = \frac{2 \cdot 1}{1 \cdot 1}=2$

Jednak to było w potędze liczby "e". Zatem ostateczny wynik to:
$\lim\limits_{x\to 0} \left( 1+\tan (2x)\right)^{\cot x}= \boxed{e^2}$

Ostatnie. Również mamy symbol nieoznaczony 0/0.
Pochodna mianownika to 1.
Zatem granica wynosi tyle samo co pochodna licznika, którą liczę:
$(\sqrt[3]{x+1} - \sqrt[6]{1-x})' = [ (x+1)^{\frac{1}{3}} ]' - [(1-x)^{\frac{1}{6}}] ' = \\ = \frac{1}{3}(x+1) ^{-\frac{2}{3}} - (1-x)' \cdot \frac{1}{6}(1-x)^{-\frac{5}{6}}= \frac{1}{3\sqrt[3]{(x+1)^2}}+\frac{1}{6\sqrt[6]{(1-x)^5}}}$

Zatem ta granica wyniesie:
$\lim\limits_{x\to 0} \left( \frac{1}{3\sqrt[3]{(x+1)^2}}+\frac{1}{6\sqrt[6]{(1-x)^5}}} \right) = \frac{1}{3\sqrt[3]{1^2}} + \frac{1}{6\sqrt[6]{1^5}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}= \\ =\boxed{\frac{1}{2}}$

3 votes Thanks 2