Question

Słońce jest kulą gazową składającą się z wodoru (73%). Prędkość ucieczki ze Słońca wynosi 617·10 do potęgi 3 m/s. Temperatura efektywna powierzchni wynosi ok. 6000K. Masa jonu wodoru wynosi 1,67·10 do potęgi -27 kg. Stała Boltzmana ma wartość k = 1,38·10 do potęgi -23 J/K.

Wykaż, że jony wodoru nie mogą samodzielnie opuścić powierzchni Słońca.

Answer 1

Aby wykazać, że jon wodoru nie może samodzielnie opuścić powierzchni Słońca należy pokazać, że energia grawitacyjna jest większa od energii termicznej (tj. średniej energii kinetycznej) jonu wodoru. Ostatecznie więc wartość prędkości wyprowadzona z energii termicznej musi być mniejsza od prędkości podanej w treści zadania. Jest to warunek konieczny do tego, aby jon nie opuścił powierzchni Słońca. Mówiąc obrazowo, jon w takiej sytuacji porusza się "zbyt wolno" aby pokonać siłę grawitacyjnego przyciągania Słońca.
Wychodzimy z faktu, że energia kinetyczna jonu wodoru równa jest jego energii termicznej, czyli, że:

Ek=Et → mv²/2=3kT/2

gdzie:
- m - masa cząstki,
- v - prędkość cząstki,
- k - stała Boltzmanna,
- T - temperatura.

Wyprowadźmy z tej równości zależność na prędkość:

mv²/2=3kT/2 → mv²=3kT → v²=3kT/m → v=√(3kT/m)

Czyli wstawiając dane wartości, mamy:

v=√(3*6000*1.38*10^(-23)/1.67*10^(-27))
v=√(24840*10^-23)/1.67*10^(-27))
v=√(14874.25*10^(4))
v=121.9*10^(2)

Sprawdźmy teraz jednostki:

v=√{(J/K)*(K)*(1/kg)}=√(J/kg)=√{(kg*m^2/s^2)/kg}=√{m^2/s^2}
v=m/s

Czyli:

v=121.9*10^(2)m/s

Zatem, porównując tę prędkość z prędkością podaną w zadaniu, czyli z v=617*10^(3)m/s widać, że prędkość termiczna jest mniejsza, co oznacza, że jon wodoru nie jest w stanie opuścić powierzchni Słońca, gdyż jego prędkość jest na to za mała.