Jedna z przekątnych kwadratu wpisanego w okrąg zawarta jest w prostej 3x+2y−8=0. Wyznacz współrzędn.... Question from @adorable

November 2018 1 45 Report

Jedna z przekątnych kwadratu wpisanego w okrąg $x^{2}-4x+ y^{2}-2y=8$ zawarta jest w prostej
3x+2y−8=0. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego kwadratu.

heh 1. Współrzędne środka okręgu - środek okręgu jest miejscem przecięcia się przekątnych kwadratu:
Równanie okręgu o środku w punkcie S(a, b) i promieniu r>0:
(x-a)²+(y-b)²=r²
lub
x²+y²-2ax-2by+c=0
gdzie c=a²+b²-r² oraz a²+b²-c>0.
------------------------------------------------------------------------------------------
$x^{2}-4x+y^{2}-2y-8=0\\
-2ax=-4x\ |:(-2x)\\
a=2\\
-2by=-2y\ |:(-2y)\\
b=1$
Środek okręgu: S(a, b)=S(2, 1)
========================================================
2. Równania przekątnych kwadratu:
$1)\ 3x+2y-8=0\\
2y=-3x+8\ |:2\\
y=-\frac{3}{2}x+4\ (*)$
------------------------------------------------------------------------------------------
Przekątne w kwadracie przecinają się pod kątem prostym - są do siebie prostopadłe. Z warunku prostopadłości prostych:
$a_{2}=-\frac{1}{a_{1}}\\
a_{1}=-\frac{3}{2}\\
a_{2}=-\frac{1}{-\frac{3}{2}}\\
a_{2}=-1:(-\frac{3}{2})\\
a_{2}=-1*(-\frac{2}{3})\\
a_{2}=\frac{2}{3}$
------------------------------------------------------------------------------------------
Przekątna przechodzi przez środek okręgu, punkt - S(2, 1):
$2)\ y_{S}=a_{2}x_{S}+b\\
1=2*\frac{2}{3}+b\\
1=\frac{4}{3}+b\\
b=1-\frac{4}{3}\\
b=-\frac{1}{3}\\
y=\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}\ (**)$
========================================================
Punkty przecięcia się okręgu z prostą (*) - współrzędne wierzchołków A i C:
$\left \{ {{x^{2}-4x+y^{2}-2y=8} \atop {y=-\frac{3}{2}x+4}} \right.$

$\left \{ {{x^{2}-4x+y^{2}-2y-8=0} \atop {y=\frac{1}{2}(8-3x)}} \right.$

$\left \{ {{x^{2}-4x+[\frac{1}{2}(8-3x)]^{2}-2*\frac{1}{2}(8-3x)-8=0} \atop {y=\frac{1}{2}(8-3x)}} \right.$

$\left \{ {{x^{2}-4x+(\frac{1}{2})^{2}(8-3x)^{2}-(8-3x)-8=0} \atop {y=\frac{1}{2}(8-3x)}} \right.$

$\left \{ {{x^{2}-4x+\frac{1}{4}(64-48x+9x^{2})-(8-3x)-8=0\ |*(4)} \atop {y=\frac{1}{2}(8-3x)}} \right.$

$\left \{ {{4x^{2}-16x+64-48x+9x^{2}-32+12x-32=0} \atop {y=\frac{1}{2}(8-3x)}} \right.$

$\left \{ {{13x^{2}-52x=0} \atop {y=\frac{1}{2}(8-3x)}} \right.$

$\left \{ {{13x(x-4)=0} \atop {y=\frac{1}{2}(8-3x)}} \right.$

$\left \{ {{x_{1}=0\ lub\ x_{3}=4} \atop {y_{1}=\frac{1}{2}(8-3*0)\ lub\ y_{3}=\frac{1}{2}(8-3*4)}} \right.$

$\left \{ {{x_{1}=0\ lub\ x_{3}=4} \atop {y_{1}=4\ lub\ y_{3}=-2}} \right.$

Współrzędne wierzchołków A i C:
$A(x_{1};\ y_{1})=A(0;\ 4)\\ C(x_{3};\ y_{3})=C(4;\ -2)$
========================================================
Punkty przecięcia się okręgu z prostą (**) - współrzędne wierzchołków B i D:
$\left \{ {{x^{2}-4x+y^{2}-2y=8} \atop {y=\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}}} \right.$

$\left \{ {{x^{2}-4x+y^{2}-2y-8=0} \atop {y=\frac{1}{3}(2x-1)}} \right.$

$\left \{ {{x^{2}-4x+[\frac{1}{3}(2x-1)]^{2}-2*\frac{1}{3}(2x-1)-8=0} \atop {y=\frac{1}{3}(2x-1)}} \right.$

$\left \{ {{x^{2}-4x+(\frac{1}{3})^{2}(2x-1)^{2}-\frac{2}{3}(2x-1)-8=0} \atop {y=\frac{1}{3}(2x-1)}} \right.$

$\left \{ {{x^{2}-4x+\frac{1}{9}(4x^{2}-4x+1)-\frac{2}{3}(2x-1)-8=0\ |*9} \atop {y=\frac{1}{3}(2x-1)}} \right.$

$\left \{ {{9x^{2}-36x+4x^{2}-4x+1-12x+6-72=0} \atop {y=\frac{1}{3}(2x-1)}} \right.$

$\left \{ {{13x^{2}-52x-65=0\ |:13} \atop {y=\frac{1}{3}(2x-1)}} \right.$

$\left \{ {{x^{2}-4x-5=0} \atop {y=\frac{1}{3}(2x-1)}} \right.$

$\left \{ {{x_{2}=-1\ lub\ x_{4}=5} \atop {y_{2}=\frac{1}{3}(2*(-1)-1)\ lub\ y_{4}=\frac{1}{3}(2*5-1)}} \right.$

$\left \{ {{x_{2}=-1\ lub\ x_{4}=5} \atop {y_{2}=-1\ lub\ y_{4}=3}} \right.$

Współrzędne punktów B i D:
$B(x_{2};\ y_{2})=B(-1;\ -1)\\ D(x_{4};\ y_{4})=D(5;\ 3)$

========================================================
Pierwiastki równania kwadratowego:
$x^{2}-4x-5=0\\
d=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4*1*(-5)=16+20=36\\
\sqrt{d}=6\\
x_{2}=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1\\
x_{4}=\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5$