Jak się za to zabrać? Zrobiłam coś takiego, ale w połowie stanęłam i nie wiem co dalej (o ile to co.... Question from @Patha

December 2018 1 28 Report

$log_{ \frac{2}{3} } (4 ^{ x^{2} +4x} +2^{ x^{2} +4x-1} - \frac{1}{2})>0$

Jak się za to zabrać?

Zrobiłam coś takiego, ale w połowie stanęłam i nie wiem co dalej (o ile to co mam do teraz jest dobrze):
$log_{ \frac{2}{3} } (4 ^{ x^{2} +4x} +2^{ x^{2} +4x-1} - \frac{1}{2})>log_{ \frac{2}{3} } \frac{2}{3}^{0}$
$4 ^{ x^{2} +4x} +2^{ x^{2} +4x-1} - \frac{1}{2}<1$

Najpierw za $2^{x}$ podstawiłam t, a potem za $t^{x}$ podstawiłam b i mam: $b^{2} * t^{8} +b* t^{4} * 2^{-1} - \frac{1}{2} <1$
$b^{2} * t^{8} +b* t^{4} * 2^{-1} - 1\frac{1}{2} <0$

Wyliczam deltę z:
a= $t^{8}$ b= $t^{4}*2^{-1}$ c= - $1\frac{1}{2}$

Δ= $\frac{25}{4} t^{8}$
√Δ= $\frac{5}{1} t^{4}$

Paawełek Przydałoby się pierw wyznaczyć dziedzinę.
Liczba logarytmowana ma być większa niż 0. Stąd:
$4^{x^2+4x} + 2^{x^2+4x-1}-\frac{1}{2}>0 \\ (2^2)^{x^2+4x} + 2^{x^2+4x} \cdot 2^{-1}-\frac{1}{2}>0 \\ \left(2^{x^2+4x}\right)^2 + \frac{1}{2} \cdot \left(2^{x^2+4x}\right)-\frac{1}{2}>0 \\ \hbox{Podstawiasz:} \\ t=2^{x^2+4x} \qquad t>0 \\ \\ t^2+\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}>0 \qquad /\cdot 2 \\ 2a^2+t-1>0 \\ \Delta=1+8=9 \\ \\ t_{1}=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2} \\ t_{2}=\frac{-1-3}{4}=-1 \\ \hbox{Zatem:} t \in (-\infty, -1) \cup (\frac{1}{2},+\infty)$
Ponieważ t>0
od razu otrzymujemy
t>1/2
powracam do podstawienia:
$2^{x^2+4x}>\frac{1}{2} \\ 2^{x^2+4x}>2^{-1} \\ x^2+4x>-1 \\ x^2+4x+1>0 \\ \Delta=16-4=12 \\ \\ x_{1}=\frac{-4+\sqrt{12}}{2}=\frac{-4+2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}-2 \\ x_{2}=\frac{-4-2\sqrt{3}}{2}=-2-\sqrt{3} \\ \hbox{Skad masz dziedzine:} \\ D: \ \ x\in(-\infty, -2-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3}-2,+\infty)$

Mając dziedzinę teraz można się brać za nierówność. Od razu rozwiązuję tę, którą wyznaczyłaś:
$4^{x^2+4x} + 2^{x^2+4x-1} -\frac{1}{2}<1 \\ \hbox{Tak jak poprzednio:} \\ \\ \left(2^{x^2+4x}\right)^2+\frac{1}{2}\left(2^{x^2+4x}\right)-\frac{1}{2}<1 \\ \hbox{Podstawiasz:} \\ t=2^{x^2+4x} \qquad t>0: \\ t^2+\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}<1 \qquad /\cdot 2 \\ 2t^2+t-1<2 \\ 2t^2+t-3<0 \\ \Delta=1+24=25 \\ \\ t_{1}=\frac{-1+5}{4}=1 \\ t_{2}=\frac{-1-5}{4}=-\frac{3}{2} \\ t \in (-\frac{3}{2},1) \\ \hbox{Ale} \ t>0 \\ \hbox{Wiec} \ \ t \in(0,1)$

Powracając do podstawienia:

$2^{x^2+4x} > 0 \\ \hbox{Dzieje sie tak zawsze} \\ \\ 2^{x^2+4x}<1 \\ 2^{x^2+4x}<2^{0} \\ x^2+4x<0 \\ x(x+4)<0 \\ x \in (-4,0)$

Teraz Zawrzyjmy dziedzinę. Zauważ, że:

$x \in (-\infty -2-\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}-2,+\infty) \approx (-\infty,-3,73) \cup(-0,27 , +\infty)$

Z tego przybliżenia jak zawrzemy dziedzinę od razu otrzymamy ostateczne rozwiązanie:

$\boxed{x \in (-4, -2-\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}-2, 0)}$