Hitunglah:Rule:- no spam- gunakan langkah yg jelas.... Question from @ekamiaww

October 2018 1 234 Report

Hitunglah:
$\displaystyle \frac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...}$

Rule:
- no spam
- gunakan langkah yg jelas

Takamori37 Anggap saja bilangan demikian adalah a.
Sehingga, berlaku:
$$\begin{align}a&=\frac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+\dots}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+\dots} \end{align}$

Pisahkan antara ganjil dan genap (pada pembilang), lalu operasikan:
$$\begin{align}a&=\frac{(1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+\dots)+(2^{-4}+4^{-4}+6^{-4}+8^{-4}+\dots)}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+\dots} \\ a&=\frac{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+\dots}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+\dots}+\frac{2^{-4}+4^{-4}+6^{-4}+8^{-4}+\dots}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+\dots} \\ a&=1+\frac{2^{-4}+4^{-4}+6^{-4}+8^{-4}+\dots}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+\dots} \end{align}$

Manipulasikan dengan faktor 2⁻⁴ yang menyebabkan:
$$\begin{align}a&=1+\frac{(2\times1)^{-4}+(2\times2)^{-4}+(2\times3)^{-4}+(2\times4)^{-4}+\dots}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+\dots} \\ a&=1+\frac{2^{-4}.1^{-4}+2^{-4}.2^{-4}+2^{-4}.3^{-4}+2^{-4}.4^{-4}+\dots}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+\dots} \\ a&=1+\frac{2^{-4}(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+\dots)}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+\dots} \\ a&=1+2^{-4}.\boxed{\frac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+\dots}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+\dots}}\end{align}$

Sementara yang dikotakkan adalah a yang sama seperti sebelumnya, berlaku:

$$\begin{align}a&=1+2^{-4}.a \\ a&=1+\frac1{2^4}.a \\ a&=1+\frac{1}{16}a \\ a-\frac1{16}a&=1 \\ \frac{15}{16}a&=1 \\ a&=\frac{16}{15}\end{align}$

Karena demikian, sehingga didapat kesimpulan:
$\boxed{\therefore\ \frac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+\dots}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+\dots}=\frac{16}{15}}$

2 votes Thanks 9

ekamiaww Josshh.. Mantab master.. ^^

Takamori37 Hehe ^^