Question

Halle el centroide de la región acotada por las gráficas de f(x)=-x^2+3 y g(x)=-x^2-2x-1, entre x=-1 y x=2. Considere las fórmulas del centroide de la región en el plano:

Answer 1

Respuesta:

Tenemos las regiones:

Y = x²+3

Y = x²-2x-1

Sabemos que las coordenadas del centroide vienen dadas por:

Qy= x'A = ∫x'elemental dA

Qx = y'A = ∫y'elemental dA

X' = 1/A ∫x( x²+3- ( x²-2x-1 )) dx  

Y' = 1/2A ∫(x²+3)² - ( x²-2x-1)² dx

Resolviendo las integrales:

X' = 1/A ∫x( x²+3- ( x²-2x-1 )) dx  

Y' = 1/2A ∫(x²+3)² - ( x²-2x-1)² dx

Ahora encontramos el área:

A = ∫ ((x²+3)²)- ( x²-2x-1)² dx // Evaluado desde cero a 1

Resolviendo y evaluando los límites tenemos:

A = -11/3

Una vez tenemos vamos a evaluar en las integrales:

X' = -3/11 ( x²(3x²-4x-36)/12)   / evaluado 0-1  

Y' = 3/22 ( x(3x⁴-80x²+90x+405)/15)  / evaluado 0-1

X' = -0.84

Y' = 3.8

De modo que el punto del centroide es:

Q= (-0.84,3.8)