Question

Hallar en la recta 2x-y-5 un punto P de manera que la suma de sus distancias a los puntos A(7,1) y B(-5,5) sea minima

Answer 1

Veamos. Sea P(x, y) el punto buscado.

Si una función es mínima, su cuadrado también lo es:

d² = (x - 7)² + (y - 1)² + (x + 5)² + (y - 5)²

Reemplazamos y = 2 x - 5 de la ecuación de la recta:

d² = (x - 7)² + (2 x- 5 - 1)² + (x + 5)² + (2 x - 5 - 5)²; quitamos paréntesis

d² = 10 x² - 68 x + 210;

Derivamos e igualamos a cero:

2 d d' = 20 x - 68 = 0: de modo que x = 68/20 = 17/5

Reemplazamos, y = 2 . 17/5 - 5 = 9/5

Resulta P(17/5, 9/5)

Saludos Herminio