Hallar el área del rectángulo de vértices los puntos de intersección de la elipse con las bisectrice.... Question from @AspR178

April 2019 1 19 Report

Hallar el área del rectángulo de vértices los puntos de intersección de la elipse
$\frac{ {x}^{2} }{ {a}^{2} } + \frac{ {y}^{2} }{ {b}^{2} } = 1$
con las bisectrices de los ángulos formados por los ejes coordenados.

Porfavor, no es tarea, era una pregunta de un examen que por ahora no entiendo cómo responder :(

Mainh

¡Buenas!

Para resolver el problema primero debemos esbozar nuestra elipse, este primer paso nos ayudará enormemente con el desarrollo del problema.

$\textrm{Condici\'on} \\ \\ a > b > 0$

Una vez dibujada nuestra elipse (ver archivo 1), procedemos a dibujar las bisectrices de los ángulos formados por los ejes coordenados, es decir, sabemos que los ejes coordenados (ejes X e Y) son perpendiculares entre sí, o sea forman noventa grados, por ende la bisectriz dividirá este ángulo en dos partes iguales (ver archivo 1)

Los puntos en amarillo representan la intersección de la elipse con las bisectrices de los ejes coordenados.

Curiosamente el resultado de unir estos puntos amarillos nos da un rectángulo (ver archivo 1) que tiene obviamente por vértices estos puntos amarillos, y no solo eso, la figura formada es un cuadrado (más adelante demostraremos porqué).

Ahora haremos un análisis acerca de las rectas de color celeste, es decir, la rectas que son bisectrices de los ángulos formados por los ejes coordenados.

Estas dos rectas son muy conocidas, cada una de ellas representa una función lineal en especifico. (ver archivo 2)

La recta de color de rojo representa la función $y = x$ , mientras que la recta de color azul representa la función $y = -x$ como esta en el archivo 2, entonces debido a que la gráfica de estas dos rectas intercepta a nuestra elipse en cuatro puntos (los puntos amarillos), entonces específicamente en dichos puntos verifican ambas ecuaciones.

Analicemos entonces la intersección de la primera recta ( $y=x$ ) con la elipse. (ver archivo 3)

$y=x \\ \\ \dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ \\ \textrm{De ambas ecuaciones suponemos} \\ \\ \dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{x^{2}}{b^{2}} = 1 \\ \\ b^{2} x^{2} + a^{2} x^{2} = a^{2}b^{2} \\ \\ x^{2}(a^{2}+b^{2}) = a^{2} b^{2} \\ \\ x^{2} = \dfrac{a^{2} b^{2}}{(a^{2}+b^{2})}$

$x = \pm \dfrac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Ubicamos en nuestra gráfica la distancia de dicha intersección (ver archivo 4), el rectángulo naranja indica un ángulo de noventa grados.

Analicemos ahora la intersección de la segunda recta ( $y = - x$ ) con la elipse.

$y = - x \\ \\ \dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ \\ \boxed{(-x)^{2} = x^{2}} \\ \\ \textrm{De ambas ecuaciones suponemos} \\ \\ \dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{x^{2}}{b^{2}} = 1 \\ \\ b^{2} x^{2} + a^{2} x^{2} = a^{2}b^{2} \\ \\ x^{2}(a^{2}+b^{2}) = a^{2} b^{2} \\ \\ x^{2} = \dfrac{a^{2} b^{2}}{(a^{2}+b^{2})}$

$x = \pm \dfrac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

De manera análoga nos damos cuenta que las distancias son iguales (ver archivo 5)

Entonces, la figura final resulta ser un cuadrado, de lado $\dfrac{2ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Cuya área se calcula de la siguiente manera:

$\textrm{Area} = \left( \dfrac{2ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right)^{2} \\ \\ \\ \textrm{Area} = \dfrac{4(a^{2})(b^{2})}{a^{2}+b^{2}}$

RESPUESTA

$\boxed{ \dfrac{4(a^{2})(b^{2})}{a^{2}+b^{2}}}$

1 votes Thanks 4

Mainh (Reinicia la pagina por si acaso edite la respuesta muchas veces porque cometí un pequeño error)

AspR178 Ah está bien, pero estoy en la app

Mainh Hola verifique la respuesta con varios casos en especifico y si es correcta, si quieres inténtalo tu mismo, dale un valor a "a" y a "b" y compruebalo o en todo caso pregúntale a tu profesor si la respuesta que te dieron es la correcta

AspR178 Okay, Mainh, igual lo empece a analizar y pues sí no tiene fallas, le preguntaré a mi profesor, en fin muchas gracias por tomarte el tiempo de ayudarme :)

Mainh Un gusto:) si quieres ver mejor las imagenes ingresa a Brainly desde el navegador de tu celular

AspR178 No te preocupes su aparecen en el móvil: 10/10 amigo 10/10 ;)

AspR178 Mainh !!!!!!!!!!!!!

AspR178 TENIAS RAZÓN !!!!!! :)

AspR178 Muchas Gracias ;)

Mainh Gracias por avisarme :)

Ayudenme a identificar los elementos de Literariedad en el poema, Algunos de los elementos son: Funcion poetica, tipo de verso, tipo de rima, numero de silabas por verso y figuras retoricas, Os lo pido por favor

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AspR178 October 2019 | 0 Replies

Un vendedor de computadoras portatiles carga en una maleta 5 computadoras, él sabe que cada máquina tiene una masa de 75 onzas. Por cuestiones se facilidad de carga decide llevar dos tercios del total de las computadoras en la maleta, Cuántas libras de carga lleva en total?

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AspR178 October 2019 | 0 Replies

La ley de Beer-Lambert expresa que la cantidad de luz que penetra a una profundidad de metros en un océano está dada por , donde 0 < c < 1 e es la cantidad de luz en la superficie.(a) Despeje en términos de logaritmos comunes (yo esta la pongo sólo para comprobar, ya que en sí es sencilla)(b) Si c = ¼, aproxime la profundidad a la que . (Esto determina la zona fótica donde puede tener lugar la fotosíntesis)La (b) es la que me esta poniendo muchas trabas

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AspR178 October 2019 | 0 Replies

Si un haz de luz que tiene intensidad se proyecta verticalmente hacia abajo en el agua, entonces su intensidad a una profundidad de metros es: (ver figura).A que profundidad tendrá la intensidad la mitad de su valor en la superficie?

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AspR178 October 2019 | 0 Replies

Por favor ayúdenmeTema: Sistema de Ecuaciones 7 × 7Aclaro:En la parte superior dice:a + b + c + d + e + f + g = 264a + 32b + 16c + 8d + 4e + 2f + g = 5En la del final, mi cámara no tomó un pedazo, debería ser:117649a + 16807b + 2401c + 343d + 49e + 7f + g = 7En este caso, yo me lleve un total de 6 hojas en mi cuaderno, y utilice el método de Eliminación, pero a la hora de comprobar, sólo me salieron correctos las ecuaciones palomeadas, las demás ya no, y créanme que estoy muy frustrado debido a que estuve dándole como 5 horas, así que sin nada más, espero que puedan ayudarme !!

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AspR178 October 2019 | 0 Replies

Ayúdenme por favor, en la (a) quise demostrarlo desarrollando y de esa manera me daba una función racional, pero al querer Encontrar la (b) con el modelo que utilicé no me dio en la intersección, por favor en serio ya llevo cómo 2 horas con esto :-|

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AspR178 October 2019 | 0 Replies

Alguien se anima ??????

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Me ayudan a corroborar si es correcto?Y si no, me podrían explicar en qué estoy mal?

A que magnitud corresponde el siguiente enunciado: Altura de un edificio.

Ayuda, por favor, por las demas tareas no he tenido tiempo de resolverlo, por favor ✌️

Ayudenme a identificar los elementos de Literariedad en el poema, Algunos de los elementos son: Funcion poetica, tipo de verso, tipo de rima, numero de silabas por verso y figuras retoricas, Os lo pido por favor

Un vendedor de computadoras portatiles carga en una maleta 5 computadoras, él sabe que cada máquina tiene una masa de 75 onzas. Por cuestiones se facilidad de carga decide llevar dos tercios del total de las computadoras en la maleta, Cuántas libras de carga lleva en total?

Si un haz de luz que tiene intensidad se proyecta verticalmente hacia abajo en el agua, entonces su intensidad a una profundidad de metros es: (ver figura).A que profundidad tendrá la intensidad la mitad de su valor en la superficie?

Ayúdenme por favor, en la (a) quise demostrarlo desarrollando y de esa manera me daba una función racional, pero al querer Encontrar la (b) con el modelo que utilicé no me dio en la intersección, por favor en serio ya llevo cómo 2 horas con esto :-|

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Me ayudan a corroborar si es correcto?Y si no, me podrían explicar en qué estoy mal?

A que magnitud corresponde el siguiente enunciado: Altura de un edificio.

Ayuda, por favor, por las demas tareas no he tenido tiempo de resolverlo, por favor ✌️

Ayudenme a identificar los elementos de Literariedad en el poema, Algunos de los elementos son: Funcion poetica, tipo de verso, tipo de rima, numero de silabas por verso y figuras retoricas, Os lo pido por favor

Un vendedor de computadoras portatiles carga en una maleta 5 computadoras, él sabe que cada máquina tiene una masa de 75 onzas. Por cuestiones se facilidad de carga decide llevar dos tercios del total de las computadoras en la maleta, Cuántas libras de carga lleva en total?

Si un haz de luz que tiene intensidad se proyecta verticalmente hacia abajo en el agua, entonces su intensidad a una profundidad de metros es: (ver figura).A que profundidad tendrá la intensidad la mitad de su valor en la superficie?​

Ayúdenme por favor, en la (a) quise demostrarlo desarrollando y de esa manera me daba una función racional, pero al querer Encontrar la (b) con el modelo que utilicé no me dio en la intersección, por favor en serio ya llevo cómo 2 horas con esto :-|​

Alguien se anima ??????​

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Si un haz de luz que tiene intensidad se proyecta verticalmente hacia abajo en el agua, entonces su intensidad a una profundidad de metros es: (ver figura).A que profundidad tendrá la intensidad la mitad de su valor en la superficie?

Ayúdenme por favor, en la (a) quise demostrarlo desarrollando y de esa manera me daba una función racional, pero al querer Encontrar la (b) con el modelo que utilicé no me dio en la intersección, por favor en serio ya llevo cómo 2 horas con esto :-|

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