Question

Funkcja z parametrem.
1.Sprawdź, czy istnieją takie wartości parametru a, dla których równanie
x^{2} + ax + 4 = 0 ma dwa rozwiązania x1, x2 takie, że x1^2 + x2^2 =1

2. Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa rozwiązania i suma ich kwadratów jest równa 1?
x^{2} + (m+1)x + m + 3=0

Answer 1

zakładamy że Δ>0
aby były pierwiastki
Δ=a²-4*1*4=a²-16
a²-16>0
(a-4)(a+4)>0
rys oś i zaznaczamy na osi -4 i4  rys parabole przez punkty -4i4 gałęzie do góry
z rys odczytujemy a∈(-∞,-4)u(4,∞)


x1²+x2²=1
(x1+x2)²=x1²+2*x1*x2+x2²
(x1+x2)²-2x1*x2=x1²+x2²

(x1+x2)²-2x1*x2=1
czyli x1+x2=-b/a
x1*x2=c/a    a=1, b=a,c=4
x1+x2=-a
x1*x2=4
(x1+x2)²-2x1*x2=1
(-a)²-8=1
a²=1+8
a²=9
a=3 lub a=-3ale  nie należy do  a∈(-∞,-4)u(4,∞)
więc nie istnieją
b)x² +(m+1)x +m+3=0
Δ=(m+1)²-4*(m+3)=m²+2m+1-4m-12=m²-2m-11
Δ>0 aby były 2 rozwiązania
m²-2m-11>0
Δm=(-2)²-4*(-11)=4+44=48, √Δ=√48=4√3
m1= 2-4√3/2=1-2√3 <0
m2=2+4√3/2=1+2√3
zaznaczamy na osi m1 i m2,rys parabolę gałęzie do góry
x∈(-∞,1-2√3)U(1+2√3,∞)

suma kwadratów x1ix2=x1²+x2²=1
x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1*x2=(-b/a)²-2c/a=(m+1)²-2(m+3)=m²+2m+1-2m-6=m²-5
m²-5=1
m²-5-1=0
m²-6=0
(m-√6)(m+√6)=0
m1=√6 lub m2=-√6 ale dziedzina x∈(-∞,1-2√3)U(1+2√3,∞)
√6<1+2√3 więc nie ma takich m

Answer 2

Odpowiedź znajdziesz w załączniku