Question

Explique por qué cualquier vector x=(x₁, x₂, x₃) que sea solución de la ecuación
3x₁-2x₂+x₃=0 tiene que ser ortogonal al vector de coeficientes a=(3,-2,1).

Answer 1

Vamos a suponer que tenemos cualquier vector "x" que es solución a la ecuación.

X=(x1,x2,x3)

Y el vector de coeficientes

a=(3,-2,1)

Para poder encontrar la expresión

3x1-2x2+x3

Es necesario quitar el carácter vectorial de los vectores, lo cual lo conseguimos con el producto escalar o producto punto.

X•a=(3,-2,1)•(x1,x2,x3)

X•a=3x1-2x2+x3

Recordando la definición de producto punto.

X•a=|X||a|cos(θ)

Podemos sustituir en el miembro izquierdo.

|X||a|cos(θ)=3x1-2x2+x3

Sí consideramos que el ángulo "θ" es de "90°" lo cual nos indicaría que los vectores son ortogonales entonces.

|X||a|cos(90°)=3x1-2x2+x3

Recordando que el coseno de 90° es igual a cero entonces.

|X||a|(0)=3x1-2x2+x3

0=3x1-2x2+x3

Y se demuestra que para todo vector solución de la ecuación "3x1-2x2+x3=0" debe ser ortogonal al vector de coeficientes a=(3,-2,1)

Espero haberte ayudado.