Primero, observemos la imagen adjunta, porque necesitamos definir la nomenclatura de cada lado y de los respectivos ángulos, de acuerdo con la fórmula de ley del Coseno:
Al vértice A, (con letra mayúscula) donde está el ángulo α, se le opone el lado "a" (con minúscula) que mide 14.
Al vértice B, (con mayúscula) donde está el ángulo β, se le opone el lado "b" (con minúscula)
Al vértice C, (con mayúscula) cuyo ángulo mide 60°, se le opone el lado "c" (con minúscula), el cual mide 16
Como el problema nos da los datos de los lados "a" y "c" y también el ángulo en C, empezaremos aplicando la ley del coseno, para conocer el lado "b". Posteriormente, aplicaremos la ley de los senos, para despejar el ángulo β y, finalmente, aplicaremos la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo, para despejar el valor de α.
De esa igualdad, escogemos la pareja que nos permita obtener el ángulo Beta, o sea b es a seno de B como c es a seno de C, y reemplazamos con los valores que tenemos,
[tex]\frac{17.44}{senB}=\frac{16}{sen60}[/tex]
Hacemos operaciones y despejes:
[tex]16*senB=17.44*sen60[/tex]
16*senB=17.44*0.8660
16*senB=15.10
[tex]senB=\frac{15,10}{16}\\\\senB=0,94[/tex]
Para despejar el ángulo pasamos al otro lado como arcoseno o [tex]sen^{-1}[/tex]
[tex]\beta=sen^{-1}0.94\\\beta=70[/tex]
Ahora que se conocen los ángulos de 60 y Beta=70, aplicamos la propiedad de la suma de ángulos internos y así despejamos α
Verified answer
Respuesta:
β=70°; α=50°
Explicación paso a paso:
Primero, observemos la imagen adjunta, porque necesitamos definir la nomenclatura de cada lado y de los respectivos ángulos, de acuerdo con la fórmula de ley del Coseno:
Al vértice A, (con letra mayúscula) donde está el ángulo α, se le opone el lado "a" (con minúscula) que mide 14.
Al vértice B, (con mayúscula) donde está el ángulo β, se le opone el lado "b" (con minúscula)
Al vértice C, (con mayúscula) cuyo ángulo mide 60°, se le opone el lado "c" (con minúscula), el cual mide 16
Como el problema nos da los datos de los lados "a" y "c" y también el ángulo en C, empezaremos aplicando la ley del coseno, para conocer el lado "b". Posteriormente, aplicaremos la ley de los senos, para despejar el ángulo β y, finalmente, aplicaremos la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo, para despejar el valor de α.
[tex]c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab*cosC[/tex]
reemplazamos con los valores que tenemos:
[tex]16^{2}=14^{2}+b^{2}-2(14b)cos60\\256=196+b^{2}-28b*0.5\\256=196+b^{2}-14b[/tex]
Ahora pasamos 256 a restar al otro lado, e igualamos la ecuación a 0, obteniendo así una cuadrática. Hacemos las operaciones:
[tex]b^{2}-14b-60=0[/tex]
Resolvemos con la fórmula general:
[tex]b=\frac{-(-14)+\sqrt{(-14)^{2}-4*1*(-60)}}{2*1}=17.44[/tex]
El otro valor de b es negativo y por tanto, al tratarse del la medida de un lado, lo descartamos, utilizando sólo el positivo, es decir: b=17.44
Ahora que ya conocemos el lado "b", aplicamos la ley de los senos, para obtener la medida del ángulo β
[tex]\frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}[/tex]
De esa igualdad, escogemos la pareja que nos permita obtener el ángulo Beta, o sea b es a seno de B como c es a seno de C, y reemplazamos con los valores que tenemos,
[tex]\frac{17.44}{senB}=\frac{16}{sen60}[/tex]
Hacemos operaciones y despejes:
[tex]16*senB=17.44*sen60[/tex]
16*senB=17.44*0.8660
16*senB=15.10
[tex]senB=\frac{15,10}{16}\\\\senB=0,94[/tex]
Para despejar el ángulo pasamos al otro lado como arcoseno o [tex]sen^{-1}[/tex]
[tex]\beta=sen^{-1}0.94\\\beta=70[/tex]
Ahora que se conocen los ángulos de 60 y Beta=70, aplicamos la propiedad de la suma de ángulos internos y así despejamos α
60°+70°+α=180°
α=180-130
α=50°
Respuesta: Beta= 70°; Alpha=50°