En una fábrica tienen máquinas de tipo A y máquinas de tipo B. La semana pasada se dio mantenimiento a 5
máquinas de tipo A y a 4 del tipo B por un costo de $340500. La semana anterior se pagó $313500 por dar
mantenimiento a 3 máquinas de tipo A y 5 de tipo B. ¿Cuál es el costo de mantenimiento de las máquinas de
cada tipo?
máquinas de tipo A y a 4 del tipo B por un costo de $340500. La semana anterior se pagó $313500 por dar
mantenimiento a 3 máquinas de tipo A y 5 de tipo B. ¿Cuál es el costo de mantenimiento de las máquinas de
cada tipo?
El costo de mantenimiento de una máquina de tipo A es de $ 34500
El costo de mantenimiento de una máquina de tipo B es de $ 42000
Solución
Establecemos las ecuaciones que modelan la situación del problema basándonos en lo se ha pagado respectivamente por cada uno de los dos mantenimientos de los dos tipos de máquinas que se han efectuado en la fábrica
Mediante las ecuaciones determinaremos el costo de mantenimiento de una máquina de tipo A y costo de mantenimiento de una máquina de tipo B
Llamamos variable "x" al costo de mantenimiento de una máquina de tipo A y variable "y" al costo de mantenimiento de una máquina de tipo B
Donde sabemos que:
Para una reparación realizada la semana pasada se dio mantenimiento a 5 máquinas de tipo A y a 4 máquinas de tipo B pagando por esto un costo de $ 340500
Y donde para otro mantenimiento efectuado la semana anterior se dio mantenimiento a 3 máquinas de tipo A y a 5 máquinas de tipo B abonando por ello un costo total de $ 313500
Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema
El sistema de ecuaciones:
Luego sumamos las 5 máquinas de tipo A y las 4 máquinas de tipo B a las que se les dio mantenimiento la semana pasada para la primera ecuación y la igualamos a la cantidad abonada por el servicio de mantenimiento por la fábrica
[tex]\large\boxed {\bold {5 x \ +\ 4y =340500 }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]
Luego hacemos el mismo procedimiento para el otro mantenimiento efectuado donde sumamos las 3 máquinas de tipo A y las 5 máquinas de tipo B a las que se les dio mantenimiento la semana anterior para establecer la segunda ecuación igualándola al monto pagado por el servicio de mantenimiento por la fábrica en esta ocasión
[tex]\large\boxed {\bold {3x \ + \ 5y = 313500 }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]
Luego
En [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {5 x \ +\ 4y =340500 }}[/tex]
Despejamos x
[tex]\boxed {\bold {5 x = 340500\ -\ 4y }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{\not5x}{\not5} = \frac{340500}{5} -\ \frac{4y}{5} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x = 68100 -\ \frac{4y}{5} }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
Resolvemos el sistema de ecuaciones
Reemplazando
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x = 68100 -\ \frac{4y}{5} }}[/tex]
[tex]\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {3x \ + \ 5y = 313500 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {3 \ . \left(68100 -\frac{4y}{5} \right) \ +\ 5y =313500 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {204300 -\frac{12y}{5} \ +\ 5y =313500 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {204300 -\frac{12y}{5} \ +\ 5y\ . \ \frac{5}{5} = 313500 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {204300 -\frac{12y}{5} \ +\ \frac{25y}{5} = 313500 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {204300 +\frac{13y}{5} = 313500 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\frac{13y}{5} = 313500 -204300}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\frac{13y}{5} = 109200}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\frac{\not 5}{\not 13}\ . \ \frac{\not 13y}{\not5} = \frac{5}{13} \ . \ 109200}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {y = \frac{5}{13} \ . \ 109200}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {y = \frac{546000}{13}}}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y = 42000 }}[/tex]
El costo de mantenimiento de una máquina de tipo B es de $ 42000
Hallamos el costo de mantenimiento de una máquina de tipo A
Reemplazando el valor hallado de y en
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x = 68100 -\ \frac{4y}{5} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x = 68100 -\ \frac{ \ 4\ . \ 42000}{5} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x = 68100 -\ \frac{ \ 168000}{5} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x = 68100 -\ \ 33600 }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x =34500 }}[/tex]
El costo de mantenimiento de una máquina de tipo A es de $ 34500
Verificación
Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {5 x \ +\ 4y =\$ \ 340500 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 5 \ maquinas \ A\ . \ \$ \ 34500\ +\ 4 \ maquinas \ B\ . \ \$ \ 42000 = \$ \ 340500 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\$\ 172500\ + \ \$\ 168000 = \$\ 340500}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\$\ 340500 = \$\ 340500 }}[/tex]
[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {3x \ + \ 5y = \$ \ 313500 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 3 \ maquinas \ A\ . \ \$ \ 34500\ +\ 5 \ maquinas \ B\ . \ \$ \ 42000 = \$ \ 313500 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\$\ 103500\ + \ \$\ 210000 = \$\ 313500 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\$\ 313500 = \$\ 313500}}[/tex]
[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]