Question

Ejercicio 2: Calcular el perímetro y el área del triángulo isósceles ΔABC en el que se sabe que: AB = BC , AC = 24 cm y h = 5 cm es la altura correspondiente al vértice B


Ejercicio 3: Se sabe que el área del rombo es 2d ⋅D , o sea la mitad del producto de las diagonales. Obtener el área del rombo de 40 cm de perímetro y la diagonal menor d = 12 cm.
Ejercicio 4: En un triángulo equilátero la altura mide 3 cm. ¿Cuánto miden los lados?
Ejercicio 5: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm y uno de los catetos mide el triple que el otro. a) ¿Cuánto miden los catetos? b) Calcular el área.
Ejercicio 6: Determinar en cada caso las medidas de las diagonales de los rectángulos de base b y altura h a) b = 8 cm h = 6 cm b) b = 4 cm h = 8 cm
Ejercicio 7: Calcular la medida de la diagonal de un cuadrado cuyo lado L mide:
a) L= 2 m b) L= 0,6 m c) L= 5 dm

Answer 1

RESOLUCIÓN.

 

Todos estos ejercicios son aplicación del Teorema de Pitágoras (c^2 = a^2 + b^2), cuando el triángulo es rectángulo. Luego todo se limita a buscar triángulos rectángulos donde haya un solo lado desconocido. Intenta dibujar las situaciones propuestas para que te sea fácil visualizar las indicaciones que te voy a dar.

Ejercicio 2.

 

Para calcular el área se debe aplicar la siguiente ecuación:

 

A = Base * Altura / 2

 

Como ya conocemos la base = AC = 24 cm y la altura = 5 cm se calcula el área.

 

A = 24*5/2 = 60 cm^2

Como el triángulo es isósceles y la altura se traza desde B, al trazar esta altura, el triángulo original ABC se divide en 2 triángulos rectángulos iguales. Sea M el punto donde la altura corta a la base AC. Entonces AMB es rectángulo. Los datos conocidos son BM (altura) = 5 y MB (mitad de la base) = 12. Entonces, el lado AB es la hipotenusa del triángulo:

 

AB^2 = 5^2 + 12^2 => AB = √169 = 13 cm

Dado que AB = BC, también conoceríamos el tercer lado del triángulo grande. En conclusión:

AC = 24, AB = 13 y BC = 13. El perímetro es la suma de los lados de cualquier triángulo:

 

P = 24 + 13 + 13 = 50 cm

 

Ejercicio 3.

Para el ejercicio 3, puntualizamos que el área de un rombo de diagonales mayor y menor  y  respectivamente es A = D*d/2.

Si en un rombo dibujas las dos diagonales, quedan cuatro triángulos rectángulos iguales (porque las diagonales son perpendiculares en el rombo). En cada uno de esos triángulos, un lado es siempre la mitad de la diagonal menor y la mitad de la diagonal mayor. El lado exterior de cada triángulo es siempre el lado del rombo.

Dado que en el rombo los 4 lados son iguales y el perímetro es 40 cm, es porque cada lado del rombo mide 10 cm. Si la diagonal menor completa mide 12 cm, es porque en los triángulos rectángulos, el lado menor mide 6 cm. Con estos dos lados del triángulo, podemos buscar el tercero aplicando el teorema de Pitágoras, sabiendo que la hipotenusa es el lado del rombo:

X = √10^2 – 6^2 = √100 – 36 = √64 = 8 cm

Luego el cateto mayor del triángulo (que es la mitad de la diagonal mayor) es de 8 cm.

 Por lo tanto, la diagonal mayor entera mide el doble (8 · 2 = 16 cm).

Ya podemos calcular el área: 

 

A = 18 * 12 / 2 = 108 cm^2

 

Ejercicio 4.

Un triángulo es equilátero si sus 3 lados son iguales. Al trazar la altura, quedan dos triángulos rectángulos iguales. La dificultad ahora es que no conocemos las longitudes de los lados, pero podemos llamarlo  y trabajar el ejercicio como si fuera un número. Al final saldrá una ecuación que resolveremos.

Si en el triángulo equilátero todos los lados son  y la altura es 3 cm, los datos que tenemos en el triángulo rectángulo (uno cualquiera de ellos) son  en la hipotenusa, 3 en la altura y x/2 en la base. Ahora aplicamos el teorema de Pitágoras:

 

x^2 – (X/2)^2 = 9 => 3X^2 = 36 => X^2 = 12 => X = √12


Ejercicio 5.

 

Si un cateto mide tres veces más que el otro en un triángulo rectángulo, se pueden conseguir el valor de los catetos aplicando el teorema de pitágoras:

 

10^2 = X^2 + 9X^2 => X^2 = 100/10 => X = √10 cm

 

Un cateto vale √10 cm y el otro 3√10 cm.

 

El área sería:

 

A = √10 * 3√10/2 = 15 cm^2

 

Ejercicio 6.

 

Para ambos casos de debe aplicar pitágoras para conocer la hipotenusa.

 

a)      Ha = √8^2 + 6^2 = 10 cm

b)      Hb = √8^2 + 4^2 = 4√5 cm

 

Ejercicio 7.

 

Se aplica el mismo procedimiento que en el ejercicio 6.

 

a)      Ha = √2^2 + 2^2 = 2√2 m

b)      Hb = √0,6^2 + 0,6^2 = 3√2/5 m

c)       Hc = = √5^2 + 5^2 = 5√2 dm