Question

DWIE SZKOŁY MAJĄ PROSTOKĄTNE BOISKA. PRZEKĄTNA KAŻDEGO BOISKA JEST RÓWNA 65. bOISKO W DRUGIEJ SZKOLE MA DŁUGOŚĆ O 4 M WIĘKSZĄ NIŻ BOISKO W PIERWSZEJ SZKOLE, ALE SZEROKOŚĆ O 8 M MNIEJSZĄ. OBLICZ DŁUGOŚĆ I SZEROKOŚĆ KAŻDEGO Z BOISK.

Answer 1

pierwsze boisko ma długośc x, szerokość to y czyli z twierdzenia Pitagorasa

x²+y²=65²

drugie boisko z tego samego twierdzenia to:

(x+4)²+(y-8)²=65²

x²+8x+16+y²-16y+64 = 65²

x²+y²+8x-16y+80=65²    podstawiamy za x²+y² z pierwszego równania 65²

65²+8x-16y+80=65²       odejmujemy od obydwu stron równania 65²

8x-16y=-80

x=2y-10                        wyliczone x wstawiamy do pierwszego równania

 

(2y-10)²+y²=65²

4y²-40y+100+y²=65²

5y²-40y+100=4225        dzielimy stronami przez 5 i otrzymujemy:

y²-8y+20=845

ostatecznie otrzymujemy równanie kwadratowe w postaci: y²-8y-825=0

Δ=64+3300=3364  √Δ=58

y1=(8-58)/2=-25   <---tę wartość odrzucamy bo szerokość musi byc większa od zera 

y2=(8+58)/2=33   podstawiamy wyliczoną szerokość do wzoru na x

czyli   x = 2y-10 = 66-10=56

 

Odp: pierwsze boisko ma długość x= 56 m     szerokość          33 m

        drugie boisko ma długosć x+4 = 60m     szerokość  y-8 = 25m

 

 

 

 

Answer 2

a - dł. boiska 1

b - szer. boiska 2

 

a² + b² = c² oraz (a+4)² + (b-8)² = c²

gdzie c² = 65² = 4225

(a+4)² + (b-8)² = c²

a² + 4a + 4a + 16   +   b² - 8b - 8b + 64   = 4225

a² + 8a + 16 + b² - 16b + 64 = 4225

( a² + b² ) + 8( a + 2 - 2b + 8 ) = 4225

65² + 8( a + 2 - 2b + 8 ) = 4225

4225 + 8( a + 2 - 2b + 8 ) = 4225

8( a + 2 - 2b + 8 ) = 0

8 ( 10 + a - 2b ) = 0     / 8

10 + a - 2b = 0

a - 2b = ( -10 )

a = 2b - 10

a² + b² = c²

(2b - 10) + b² = c²

4b² - 20b - 20b + 100 + b² = 65²

4b² -40b + 100 + b² = 4225

5b² - 40b = 4125     /5

 b² - 8b = 825     ------   równanie kwwadratowe , czyli musimy wyliczyć deltę

Δ = liczba przy zwykłej literce podniesiona do kwadratu - 4*liczba przy liczbie z kwadratem * zwykła liczba w równaniu

Δ = (-8)² - 4 * 1 * (-825)

Δ = 64 + 3300 = 3364 > 0  ( czyli są 2 rozwiązania )

√ Δ = 58

B1 = -  -8 - 58 / 2 = - 25 ( to rozwiazanie odpada , gdyż jest to liczba ujemna )

B2 = - -8 + 58 / 2 =  33

a² + b² = c²

a² + 33² = 65²

a² + 1089 = 4225

a² = 4225 - 1089 = 3136

a = √3136 = 56

PIERWSZE BOISKO - DŁUGOŚĆ TO 56 , SZEROKOŚĆ 33 , DRUGIE BOISKO : DŁUGOŚĆ TO 56+4 = 60 , SZEROKOŚĆ TO 33-8 = 25