Question

Dwie proste k: y - 2x - 1 = 0 i l: y - x - 3 = 0 przecinają się w punkcie A. Poprowadzono prostą m przechodzącą przez punkt C = (4, 1) prostopadłą do k i przecinającą l w punkcie B. Oblicz pole trójkąta ABC.

Answer 1

K: y-2x - 1 =0 lub y = 2x +1 ( w postaci kierunkowej)
l: y - x -3 = 0 lub y = x + 3 ( w postaci kierunkowej)
przecinają się w punkcie A
2x +1 = x +3
x = 3 -1 = 2
y = 2+3 = 5
A = (2 ; 5)
prosta m jest prostopadła do k i przechodzi przez punkt C =(4;1)
2*a1 = -1
a1 = -1/2
y =(-1/2) x + b1 oraz C = (4;1)
1 =(-1/2)*4 + b1
b1 = 1 +2 = 3
m: y = -0,5 x + 3
x = 0, to y = 3
oraz dla prostej l : y = x + 3 mamy
x = 0 , to y = 3 , stąd wniosek, ze proste m oraz l przecinają się
w punkcie B = (0;3)
Mamy trójkąt ABC
Niech odcinek BC będzie podstawą
wektor BC =[4-0;1-3] = [4; -2]
I BC I² = 4² + (-2)² = 16 + 4 = 20 = 4*5
BC =2√5
Proste m oraz k są prostopadłe.Znajdźmy ich punkt współny:
2x +1 = -0,5 x +3
2,5 x = 2
x = 0,8
y = 2*0,8 +1 = 1,6 +1 = 2,6
D = ( 0,8 ; 2,6)
wektor DA = [2-0,8; 5-2,6] = [1,2 ; 2,4 ]
I DA I² = (1,2)² + (2,4)² = 1,44 + 5,76 = 7,2
DA = √(7,2)
Pole trójkąta ABC
P = 0,5*BC*DA = 0,5*2√5*√(7,2) = √(5*7,2) = √36 = 6
Pole trójkąta ABC ma pole równe 6 j² .

Answer 2

Prosta k:
y = 2x +1
prosta l:
y = x + 3

ich wspólny pkt. przecięcia
2x + 1 = x + 3 stąd x = 2 i y = 5
wsp. pkt. A (2 ; 5)
równanie prostej m prostopadłej do k więc jej wsp. kierunkowy równy -0,5
m: y = -0,5x + b podstawiamy wsp. pkt. C
1 = -0,5 * 4 + b stąd b = 3
równanie prostej m: y = -0,5x + 3

pkt. B przecięcia prostej m i l

x + 3 = -0,5x + 3 stąd x = 0 oraz y = 3
wsp. pkt. B (0 ; 3)

pole trójkąta ABC
A (2 ; 5)
B (0 ; 3)
C (4 ; 1)

P = 0,5 | (Xb - Xa)(Yc-Ya) - (Yb-Ya)(Xc-Xa) |
P = 0,5 | (0 - 2)(1-5) - (3-5)(4-2) | = 12