Question

Długości boków trójkąta, którego jeden z kątów ma miarę 120 stopni, są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o sumie równej 30. Oblicz stosunek długości promienia wpisanego w ten trójkąt do długości promienia opisanego na tym trójkącie.

[Wakacyjna lista wyzwań (2021) ; 154]

Answer 1

Rozwiązanie:

Rysunek w załączniku.

Z zadania:

Zatem boki trójkąta można zapisać jako . Zastosujmy twierdzenia Carnota:

Boki trójkąta są więc równe .

Mamy obliczyć:

gdzie:

- promień okręgu wpisanego w rozważany trójkąt,

- promień okręgu opisanego na rozważanym trójkącie,

- pole trójkąta,

- połowa obwodu trójkąta,

- boki trójkąta.

Obliczamy pole:

Obliczamy połowę obwodu trójkąta:

Obliczamy szukany stosunek: