Question

Długość boku rombu jest równa 5. Cosinus kąta ostrego rombu wynosi 0,6. Oblicz długości przekątnych tego rombu.

Answer 1

Verified answer

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Z definicji cosinusa mamy

[tex]\cos\alpha=\frac{x}{5}=0,6\\x=0,6*5=3[/tex]

Z tw. Pitagorasa

[tex]3^2+h^2=5^2\\9+h^2=25\\h^2=25-9\\h^2=16\\h=\sqrt{16}\\h=4[/tex]

Odcinek y ma długość

[tex]y=5-3=2[/tex]

Z tw. Pitagorasa policzymy krótszą przekątną.

[tex]e^2=4^2+2^2\\e^2=16+4\\e^2=20\\e=\sqrt{20}\\e=\sqrt{4*5}\\e=2\sqrt5[/tex]

Dłuższą przekątną policzymy ze wzorów na pole rombu.

[tex]P=ah=\frac{ef}2}\\5*4=\frac{2\sqrt5*f}{2}\\20=\sqrt5f\ |:\sqrt5\\f=\frac{20}{\sqrt5}\\f=\frac{20}{\sqrt5}*\frac{\sqrt5}{\sqrt5}\\f=\frac{20\sqrt5}{5}\\f=4\sqrt5[/tex]

Answer 2

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Z jedynki trygonometrycznej obliczymy sin kąta:

sin²α + cos²α = 1

sin²α + (0,6)² = 1

sin²α = 1 - 0,36 = 0,64

sinα = 0,8

Pole trapezu:

P = 2 * 1/2*a*a*sinα = 5² * 0,8 = 25 * 0,8 = 20

Jednocześnie pole trapezu:

P = 1/2 *e*f    

-  gdzie - e i f przekatne rombu, przecinające sie pod kątem prostym

czyli:

20 = 1/2 * e*f

e*f = 40    ->  e = 40/f

z tw. Pitagoasa;
(e/2)² + (f/2)² = 5²

e²/4 + f²/4 = 25   /*4

e² + f² = 100

podstawiając "e":

(40/f)² + f² = 100

1600/f² +f² = 100   / * f²

f^4 + 1600 = 100f²

f^4 - 100f² +1600 = 0

podstawienie: t = f²

t² - 100t +1600 = 0

Δ = 10000- 6400 = 3600

√Δ = 60

t1 = (100+60)/2 = 80

t2 = (100-60)/2 = 20

czyli gdy:

f²=80  

f = 4√5  

e = 40/4√5 = 40√5/20 = 2√5

e = 2√5

gdy:

f² = 20    

f = 2√5

e = 40/2√5 = 40√5/10 = 4√5

e = 4√5

W zależności od tego jak oznaczymy, która dłuższa, która krótsza przekątna.